Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7998 / 5642
↖ ↑ ↗
← N 48.777913°
W  4.262695°		 ← 1 610.07 m → N 48.777913°
W  4.240722°		 →
↑
1 610.27 m
↓
↑
1 610.27 m
↓
N 48.763431°
W  4.262695°		 ← 1 610.53 m →
2 593 022 m²		 N 48.763431°
W  4.240722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488189697265625 y=0.344390869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488189697265625 × 214)
    floor (0.488189697265625 × 16384)
    floor (7998.5)     		tx = 7998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344390869140625 × 214)
    floor (0.344390869140625 × 16384)
    floor (5642.5)     		ty = 5642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7998 / 5642 ti = "14/7998/5642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7998/5642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7998 ÷ 214
    7998 ÷ 16384     		x = 0.4881591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5642 ÷ 214
    5642 ÷ 16384     		y = 0.3443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4881591796875 × 2 - 1) × π
    -0.023681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.07439807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    0.311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07439807} λ = -0.07439807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977912752249146))-π/2
    2×atan(2.65890066158444)-π/2
    2×1.21106575330526-π/2
    2.42213150661052-1.57079632675     		φ = 0.85133518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07439807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85133518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.777913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7998 KachelY 5642 -0.07439807 0.85133518 -4.262695 48.777913
    Oben rechts KachelX + 1 7999 KachelY 5642 -0.07401457 0.85133518 -4.240722 48.777913
    Unten links KachelX 7998 KachelY + 1 5643 -0.07439807 0.85108243 -4.262695 48.763431
    Unten rechts KachelX + 1 7999 KachelY + 1 5643 -0.07401457 0.85108243 -4.240722 48.763431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85133518-0.85108243) × R
    0.000252750000000024 × 6371000     		dl = 1610.27025000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85133518-0.85108243) × R
    0.000252750000000024 × 6371000     		dr = 1610.27025000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07439807--0.07401457) × cos(0.85133518) × R
    0.000383499999999995 × 0.658979463333936 × 6371000     		do = 1610.07035470532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07439807--0.07401457) × cos(0.85108243) × R
    0.000383499999999995 × 0.659169550958705 × 6371000     		du = 1610.53479171204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85133518)-sin(0.85108243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658979463333936-0.659169550958705)×R²
    abs(-0.07401457--0.07439807)×0.000190087624769242×R²
    0.000383499999999995×0.000190087624769242×6371000²
    0.000383499999999995×0.000190087624769242×40589641000000     		ar = 2593022.34094089m²