Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79556 / 38468
↖ ↑ ↗
← N 59.439490°
E 38.507080°		 ← 155.29 m → N 59.439490°
E 38.509827°		 →
↑
155.26 m
↓
↑
155.26 m
↓
N 59.438093°
E 38.507080°		 ← 155.30 m →
24 112 m²		 N 59.438093°
E 38.509827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606967926025391 y=0.293491363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606967926025391 × 217)
    floor (0.606967926025391 × 131072)
    floor (79556.5)     		tx = 79556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293491363525391 × 217)
    floor (0.293491363525391 × 131072)
    floor (38468.5)     		ty = 38468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79556 / 38468 ti = "17/79556/38468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79556/38468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79556 ÷ 217
    79556 ÷ 131072     		x = 0.606964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38468 ÷ 217
    38468 ÷ 131072     		y = 0.293487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606964111328125 × 2 - 1) × π
    0.21392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67207533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293487548828125 × 2 - 1) × π
    0.41302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29755599891568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67207533} λ = 0.67207533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29755599891568))-π/2
    2×atan(3.66033985227646)-π/2
    2×1.30410556285265-π/2
    2.6082111257053-1.57079632675     		φ = 1.03741480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67207533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.507080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03741480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.439490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79556 KachelY 38468 0.67207533 1.03741480 38.507080 59.439490
    Oben rechts KachelX + 1 79557 KachelY 38468 0.67212327 1.03741480 38.509827 59.439490
    Unten links KachelX 79556 KachelY + 1 38469 0.67207533 1.03739043 38.507080 59.438093
    Unten rechts KachelX + 1 79557 KachelY + 1 38469 0.67212327 1.03739043 38.509827 59.438093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03741480-1.03739043) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dl = 155.261269999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03741480-1.03739043) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dr = 155.261269999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67207533-0.67212327) × cos(1.03741480) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.508448050558062 × 6371000     		do = 155.293122093511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67207533-0.67212327) × cos(1.03739043) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.508469035235354 × 6371000     		du = 155.299531354102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03741480)-sin(1.03739043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508448050558062-0.508469035235354)×R²
    abs(0.67212327-0.67207533)×2.09846772917244e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.09846772917244e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.09846772917244e-05×40589641000000     		ar = 24111.5049146179m²