Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79553 / 38721
↖ ↑ ↗
← N 59.084327°
E 38.498840°		 ← 156.92 m → N 59.084327°
E 38.501587°		 →
↑
156.92 m
↓
↑
156.92 m
↓
N 59.082916°
E 38.498840°		 ← 156.93 m →
24 624 m²		 N 59.082916°
E 38.501587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606945037841797 y=0.295421600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606945037841797 × 217)
    floor (0.606945037841797 × 131072)
    floor (79553.5)     		tx = 79553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295421600341797 × 217)
    floor (0.295421600341797 × 131072)
    floor (38721.5)     		ty = 38721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79553 / 38721 ti = "17/79553/38721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79553/38721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79553 ÷ 217
    79553 ÷ 131072     		x = 0.606941223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38721 ÷ 217
    38721 ÷ 131072     		y = 0.295417785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606941223144531 × 2 - 1) × π
    0.213882446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.67193152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295417785644531 × 2 - 1) × π
    0.409164428710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.28542796331181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67193152} λ = 0.67193152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28542796331181))-π/2
    2×atan(3.61621523355263)-π/2
    2×1.30100618873624-π/2
    2.60201237747249-1.57079632675     		φ = 1.03121605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67193152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.498840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03121605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.084327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79553 KachelY 38721 0.67193152 1.03121605 38.498840 59.084327
    Oben rechts KachelX + 1 79554 KachelY 38721 0.67197946 1.03121605 38.501587 59.084327
    Unten links KachelX 79553 KachelY + 1 38722 0.67193152 1.03119142 38.498840 59.082916
    Unten rechts KachelX + 1 79554 KachelY + 1 38722 0.67197946 1.03119142 38.501587 59.082916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03121605-1.03119142) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dl = 156.917729999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03121605-1.03119142) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dr = 156.917729999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67193152-0.67197946) × cos(1.03121605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.513775946139853 × 6371000     		do = 156.920398543862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67193152-0.67197946) × cos(1.03119142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.513797076662 × 6371000     		du = 156.926852349225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03121605)-sin(1.03119142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513775946139853-0.513797076662)×R²
    abs(0.67197946-0.67193152)×2.11305221472502e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11305221472502e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11305221472502e-05×40589641000000     		ar = 24624.0990897158m²