Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79552 / 38208
↖ ↑ ↗
← N 59.800634°
E 38.496094°		 ← 153.60 m → N 59.800634°
E 38.498840°		 →
↑
153.60 m
↓
↑
153.60 m
↓
N 59.799253°
E 38.496094°		 ← 153.61 m →
23 594 m²		 N 59.799253°
E 38.498840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606937408447266 y=0.291507720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606937408447266 × 217)
    floor (0.606937408447266 × 131072)
    floor (79552.5)     		tx = 79552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291507720947266 × 217)
    floor (0.291507720947266 × 131072)
    floor (38208.5)     		ty = 38208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79552 / 38208 ti = "17/79552/38208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79552/38208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79552 ÷ 217
    79552 ÷ 131072     		x = 0.60693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38208 ÷ 217
    38208 ÷ 131072     		y = 0.29150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60693359375 × 2 - 1) × π
    0.2138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67188359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29150390625 × 2 - 1) × π
    0.4169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31001959281689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67188359} λ = 0.67188359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31001959281689))-π/2
    2×atan(3.70624632730449)-π/2
    2×1.30725714470597-π/2
    2.61451428941194-1.57079632675     		φ = 1.04371796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67188359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04371796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.800634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79552 KachelY 38208 0.67188359 1.04371796 38.496094 59.800634
    Oben rechts KachelX + 1 79553 KachelY 38208 0.67193152 1.04371796 38.498840 59.800634
    Unten links KachelX 79552 KachelY + 1 38209 0.67188359 1.04369385 38.496094 59.799253
    Unten rechts KachelX + 1 79553 KachelY + 1 38209 0.67193152 1.04369385 38.498840 59.799253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04371796-1.04369385) × R
    2.41100000000216e-05 × 6371000     		dl = 153.604810000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04371796-1.04369385) × R
    2.41100000000216e-05 × 6371000     		dr = 153.604810000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67188359-0.67193152) × cos(1.04371796) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.503010381404526 × 6371000     		do = 153.600271176854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67188359-0.67193152) × cos(1.04369385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.503031219058022 × 6371000     		du = 153.606634205026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04371796)-sin(1.04369385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503010381404526-0.503031219058022)×R²
    abs(0.67193152-0.67188359)×2.08376534960308e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08376534960308e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08376534960308e-05×40589641000000     		ar = 23594.2291671104m²