Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79496 / 38280
↖ ↑ ↗
← N 59.701013°
E 38.342285°		 ← 154.09 m → N 59.701013°
E 38.345032°		 →
↑
154.05 m
↓
↑
154.05 m
↓
N 59.699628°
E 38.342285°		 ← 154.10 m →
23 738 m²		 N 59.699628°
E 38.345032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606510162353516 y=0.292057037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606510162353516 × 217)
    floor (0.606510162353516 × 131072)
    floor (79496.5)     		tx = 79496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292057037353516 × 217)
    floor (0.292057037353516 × 131072)
    floor (38280.5)     		ty = 38280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79496 / 38280 ti = "17/79496/38280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79496/38280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79496 ÷ 217
    79496 ÷ 131072     		x = 0.60650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38280 ÷ 217
    38280 ÷ 131072     		y = 0.29205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60650634765625 × 2 - 1) × π
    0.2130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66919912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29205322265625 × 2 - 1) × π
    0.4158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30656813604425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66919912} λ = 0.66919912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30656813604425))-π/2
    2×atan(3.69347642837094)-π/2
    2×1.30638778984355-π/2
    2.6127755796871-1.57079632675     		φ = 1.04197925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66919912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.342285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04197925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.701013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79496 KachelY 38280 0.66919912 1.04197925 38.342285 59.701013
    Oben rechts KachelX + 1 79497 KachelY 38280 0.66924706 1.04197925 38.345032 59.701013
    Unten links KachelX 79496 KachelY + 1 38281 0.66919912 1.04195507 38.342285 59.699628
    Unten rechts KachelX + 1 79497 KachelY + 1 38281 0.66924706 1.04195507 38.345032 59.699628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04197925-1.04195507) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dl = 154.050780000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04197925-1.04195507) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dr = 154.050780000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66919912-0.66924706) × cos(1.04197925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.50451235323943 × 6371000     		do = 154.091058827193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66919912-0.66924706) × cos(1.04195507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.504533230212117 × 6371000     		du = 154.097435192025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04197925)-sin(1.04195507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50451235323943-0.504533230212117)×R²
    abs(0.66924706-0.66919912)×2.08769726879332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08769726879332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08769726879332e-05×40589641000000     		ar = 23738.3389465036m²