Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7949 / 7961
↖ ↑ ↗
← N  5.069058°
W  5.339355°		 ← 2 433.66 m → N  5.069058°
W  5.317383°		 →
↑
2 433.72 m
↓
↑
2 433.72 m
↓
N  5.047171°
W  5.339355°		 ← 2 433.74 m →
5 922 950 m²		 N  5.047171°
W  5.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485198974609375 y=0.485931396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485198974609375 × 214)
    floor (0.485198974609375 × 16384)
    floor (7949.5)     		tx = 7949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485931396484375 × 214)
    floor (0.485931396484375 × 16384)
    floor (7961.5)     		ty = 7961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7949 / 7961 ti = "14/7949/7961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7949/7961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7949 ÷ 214
    7949 ÷ 16384     		x = 0.48516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7961 ÷ 214
    7961 ÷ 16384     		y = 0.48590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09318933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48590087890625 × 2 - 1) × π
    0.0281982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0885873904978638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09318933} λ = -0.09318933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0885873904978638))-π/2
    2×atan(1.09262973389477)-π/2
    2×0.829634037921872-π/2
    1.65926807584374-1.57079632675     		φ = 0.08847175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09318933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08847175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.069058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7949 KachelY 7961 -0.09318933 0.08847175 -5.339355 5.069058
    Oben rechts KachelX + 1 7950 KachelY 7961 -0.09280584 0.08847175 -5.317383 5.069058
    Unten links KachelX 7949 KachelY + 1 7962 -0.09318933 0.08808975 -5.339355 5.047171
    Unten rechts KachelX + 1 7950 KachelY + 1 7962 -0.09280584 0.08808975 -5.317383 5.047171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08847175-0.08808975) × R
    0.000382000000000007 × 6371000     		dl = 2433.72200000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08847175-0.08808975) × R
    0.000382000000000007 × 6371000     		dr = 2433.72200000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09318933--0.09280584) × cos(0.08847175) × R
    0.00038349 × 0.996088926803827 × 6371000     		do = 2433.65919812234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09318933--0.09280584) × cos(0.08808975) × R
    0.00038349 × 0.996122606263553 × 6371000     		du = 2433.74148427646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08847175)-sin(0.08808975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996088926803827-0.996122606263553)×R²
    abs(-0.09280584--0.09318933)×3.36794597258772e-05×R²
    0.00038349×3.36794597258772e-05×6371000²
    0.00038349×3.36794597258772e-05×40589641000000     		ar = 5922950.13380969m²