Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7948 / 7955
↖ ↑ ↗
← N  5.200365°
W  5.361328°		 ← 2 433.22 m → N  5.200365°
W  5.339355°		 →
↑
2 433.28 m
↓
↑
2 433.28 m
↓
N  5.178482°
W  5.361328°		 ← 2 433.31 m →
5 920 802 m²		 N  5.178482°
W  5.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485137939453125 y=0.485565185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485137939453125 × 214)
    floor (0.485137939453125 × 16384)
    floor (7948.5)     		tx = 7948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485565185546875 × 214)
    floor (0.485565185546875 × 16384)
    floor (7955.5)     		ty = 7955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7948 / 7955 ti = "14/7948/7955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7948/7955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7948 ÷ 214
    7948 ÷ 16384     		x = 0.485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7955 ÷ 214
    7955 ÷ 16384     		y = 0.48553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.02978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09357283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48553466796875 × 2 - 1) × π
    0.0289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0908883616796265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09357283} λ = -0.09357283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0908883616796265))-π/2
    2×atan(1.09514673809134)-π/2
    2×0.830779906391693-π/2
    1.66155981278339-1.57079632675     		φ = 0.09076349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09357283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09076349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.200365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7948 KachelY 7955 -0.09357283 0.09076349 -5.361328 5.200365
    Oben rechts KachelX + 1 7949 KachelY 7955 -0.09318933 0.09076349 -5.339355 5.200365
    Unten links KachelX 7948 KachelY + 1 7956 -0.09357283 0.09038156 -5.361328 5.178482
    Unten rechts KachelX + 1 7949 KachelY + 1 7956 -0.09318933 0.09038156 -5.339355 5.178482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09076349-0.09038156) × R
    0.000381930000000003 × 6371000     		dl = 2433.27603000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09076349-0.09038156) × R
    0.000381930000000003 × 6371000     		dr = 2433.27603000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09357283--0.09318933) × cos(0.09076349) × R
    0.000383499999999995 × 0.995883821366268 × 6371000     		do = 2433.22152924201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09357283--0.09318933) × cos(0.09038156) × R
    0.000383499999999995 × 0.995918366454195 × 6371000     		du = 2433.30593251262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09076349)-sin(0.09038156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995883821366268-0.995918366454195)×R²
    abs(-0.09318933--0.09357283)×3.4545087927107e-05×R²
    0.000383499999999995×3.4545087927107e-05×6371000²
    0.000383499999999995×3.4545087927107e-05×40589641000000     		ar = 5920802.38298458m²