Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7948 / 7939
↖ ↑ ↗
← N  5.550381°
W  5.361328°		 ← 2 431.82 m → N  5.550381°
W  5.339355°		 →
↑
2 431.87 m
↓
↑
2 431.87 m
↓
N  5.528510°
W  5.361328°		 ← 2 431.91 m →
5 913 998 m²		 N  5.528510°
W  5.339355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485137939453125 y=0.484588623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485137939453125 × 214)
    floor (0.485137939453125 × 16384)
    floor (7948.5)     		tx = 7948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484588623046875 × 214)
    floor (0.484588623046875 × 16384)
    floor (7939.5)     		ty = 7939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7948 / 7939 ti = "14/7948/7939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7948/7939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7948 ÷ 214
    7948 ÷ 16384     		x = 0.485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7939 ÷ 214
    7939 ÷ 16384     		y = 0.48455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.02978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09357283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48455810546875 × 2 - 1) × π
    0.0308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0970242848309937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09357283} λ = -0.09357283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0970242848309937))-π/2
    2×atan(1.10188713243888)-π/2
    2×0.833834371229934-π/2
    1.66766874245987-1.57079632675     		φ = 0.09687242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09357283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09687242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.550381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7948 KachelY 7939 -0.09357283 0.09687242 -5.361328 5.550381
    Oben rechts KachelX + 1 7949 KachelY 7939 -0.09318933 0.09687242 -5.339355 5.550381
    Unten links KachelX 7948 KachelY + 1 7940 -0.09357283 0.09649071 -5.361328 5.528510
    Unten rechts KachelX + 1 7949 KachelY + 1 7940 -0.09318933 0.09649071 -5.339355 5.528510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09687242-0.09649071) × R
    0.000381710000000007 × 6371000     		dl = 2431.87441000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09687242-0.09649071) × R
    0.000381710000000007 × 6371000     		dr = 2431.87441000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09357283--0.09318933) × cos(0.09687242) × R
    0.000383499999999995 × 0.995311535325883 × 6371000     		do = 2431.82327506369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09357283--0.09318933) × cos(0.09649071) × R
    0.000383499999999995 × 0.99534838217992 × 6371000     		du = 2431.91330218995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09687242)-sin(0.09649071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995311535325883-0.99534838217992)×R²
    abs(-0.09318933--0.09357283)×3.68468540374867e-05×R²
    0.000383499999999995×3.68468540374867e-05×6371000²
    0.000383499999999995×3.68468540374867e-05×40589641000000     		ar = 5913998.33140925m²