Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7947 / 7944
↖ ↑ ↗
← N  5.441022°
W  5.383301°		 ← 2 432.21 m → N  5.441022°
W  5.361328°		 →
↑
2 432.26 m
↓
↑
2 432.26 m
↓
N  5.419148°
W  5.383301°		 ← 2 432.29 m →
5 915 858 m²		 N  5.419148°
W  5.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485076904296875 y=0.484893798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485076904296875 × 214)
    floor (0.485076904296875 × 16384)
    floor (7947.5)     		tx = 7947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484893798828125 × 214)
    floor (0.484893798828125 × 16384)
    floor (7944.5)     		ty = 7944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7947 / 7944 ti = "14/7947/7944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7947/7944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7947 ÷ 214
    7947 ÷ 16384     		x = 0.48504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7944 ÷ 214
    7944 ÷ 16384     		y = 0.48486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0299072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09395632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09395632} λ = -0.09395632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0951068088461914))-π/2
    2×atan(1.09977631469237)-π/2
    2×0.832880040333258-π/2
    1.66576008066652-1.57079632675     		φ = 0.09496375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09395632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09496375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.441022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7947 KachelY 7944 -0.09395632 0.09496375 -5.383301 5.441022
    Oben rechts KachelX + 1 7948 KachelY 7944 -0.09357283 0.09496375 -5.361328 5.441022
    Unten links KachelX 7947 KachelY + 1 7945 -0.09395632 0.09458198 -5.383301 5.419148
    Unten rechts KachelX + 1 7948 KachelY + 1 7945 -0.09357283 0.09458198 -5.361328 5.419148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09496375-0.09458198) × R
    0.000381770000000003 × 6371000     		dl = 2432.25667000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09496375-0.09458198) × R
    0.000381770000000003 × 6371000     		dr = 2432.25667000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09395632--0.09357283) × cos(0.09496375) × R
    0.00038349 × 0.995494330673539 × 6371000     		do = 2432.20647206274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09395632--0.09357283) × cos(0.09458198) × R
    0.00038349 × 0.995530457971326 × 6371000     		du = 2432.29473881102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09496375)-sin(0.09458198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995494330673539-0.995530457971326)×R²
    abs(-0.09357283--0.09395632)×3.61272977875693e-05×R²
    0.00038349×3.61272977875693e-05×6371000²
    0.00038349×3.61272977875693e-05×40589641000000     		ar = 5915857.83003767m²