Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7947 / 7940
↖ ↑ ↗
← N  5.528510°
W  5.383301°		 ← 2 431.85 m → N  5.528510°
W  5.361328°		 →
↑
2 431.94 m
↓
↑
2 431.94 m
↓
N  5.506640°
W  5.383301°		 ← 2 431.94 m →
5 914 218 m²		 N  5.506640°
W  5.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485076904296875 y=0.484649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485076904296875 × 214)
    floor (0.485076904296875 × 16384)
    floor (7947.5)     		tx = 7947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484649658203125 × 214)
    floor (0.484649658203125 × 16384)
    floor (7940.5)     		ty = 7940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7947 / 7940 ti = "14/7947/7940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7947/7940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7947 ÷ 214
    7947 ÷ 16384     		x = 0.48504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7940 ÷ 214
    7940 ÷ 16384     		y = 0.484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0299072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09395632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    0.03076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09395632} λ = -0.09395632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0966407896340332))-π/2
    2×atan(1.10146464503212)-π/2
    2×0.833643519098325-π/2
    1.66728703819665-1.57079632675     		φ = 0.09649071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09395632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09649071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.528510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7947 KachelY 7940 -0.09395632 0.09649071 -5.383301 5.528510
    Oben rechts KachelX + 1 7948 KachelY 7940 -0.09357283 0.09649071 -5.361328 5.528510
    Unten links KachelX 7947 KachelY + 1 7941 -0.09395632 0.09610899 -5.383301 5.506640
    Unten rechts KachelX + 1 7948 KachelY + 1 7941 -0.09357283 0.09610899 -5.361328 5.506640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09649071-0.09610899) × R
    0.000381719999999988 × 6371000     		dl = 2431.93811999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09649071-0.09610899) × R
    0.000381719999999988 × 6371000     		dr = 2431.93811999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09395632--0.09357283) × cos(0.09649071) × R
    0.00038349 × 0.99534838217992 × 6371000     		do = 2431.84988854456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09395632--0.09357283) × cos(0.09610899) × R
    0.00038349 × 0.995385084968799 × 6371000     		du = 2431.93956134118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09649071)-sin(0.09610899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99534838217992-0.995385084968799)×R²
    abs(-0.09357283--0.09395632)×3.67027888786842e-05×R²
    0.00038349×3.67027888786842e-05×6371000²
    0.00038349×3.67027888786842e-05×40589641000000     		ar = 5914217.55722858m²