Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79455 / 38494
↖ ↑ ↗
← N 59.403161°
E 38.229676°		 ← 155.43 m → N 59.403161°
E 38.232422°		 →
↑
155.45 m
↓
↑
155.45 m
↓
N 59.401763°
E 38.229676°		 ← 155.43 m →
24 162 m²		 N 59.401763°
E 38.232422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606197357177734 y=0.293689727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606197357177734 × 217)
    floor (0.606197357177734 × 131072)
    floor (79455.5)     		tx = 79455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293689727783203 × 217)
    floor (0.293689727783203 × 131072)
    floor (38494.5)     		ty = 38494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79455 / 38494 ti = "17/79455/38494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79455/38494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79455 ÷ 217
    79455 ÷ 131072     		x = 0.606193542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38494 ÷ 217
    38494 ÷ 131072     		y = 0.293685913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606193542480469 × 2 - 1) × π
    0.212387084960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.66723371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293685913085938 × 2 - 1) × π
    0.412628173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29630963952556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66723371} λ = 0.66723371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29630963952556))-π/2
    2×atan(3.6557805951572)-π/2
    2×1.30378853828233-π/2
    2.60757707656467-1.57079632675     		φ = 1.03678075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66723371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.229676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03678075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.403161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79455 KachelY 38494 0.66723371 1.03678075 38.229676 59.403161
    Oben rechts KachelX + 1 79456 KachelY 38494 0.66728164 1.03678075 38.232422 59.403161
    Unten links KachelX 79455 KachelY + 1 38495 0.66723371 1.03675635 38.229676 59.401763
    Unten rechts KachelX + 1 79456 KachelY + 1 38495 0.66728164 1.03675635 38.232422 59.401763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03678075-1.03675635) × R
    2.43999999998135e-05 × 6371000     		dl = 155.452399998812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03678075-1.03675635) × R
    2.43999999998135e-05 × 6371000     		dr = 155.452399998812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66723371-0.66728164) × cos(1.03678075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508993924123534 × 6371000     		do = 155.427417928123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66723371-0.66728164) × cos(1.03675635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.50901492676274 × 6371000     		du = 155.433831336667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03678075)-sin(1.03675635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508993924123534-0.50901492676274)×R²
    abs(0.66728164-0.66723371)×2.10026392061247e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10026392061247e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10026392061247e-05×40589641000000     		ar = 24162.0636337118m²