Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7945 / 7943
↖ ↑ ↗
← N  5.462895°
W  5.427246°		 ← 2 432.12 m → N  5.462895°
W  5.405274°		 →
↑
2 432.19 m
↓
↑
2 432.19 m
↓
N  5.441022°
W  5.427246°		 ← 2 432.21 m →
5 915 488 m²		 N  5.441022°
W  5.405274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484954833984375 y=0.484832763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484954833984375 × 214)
    floor (0.484954833984375 × 16384)
    floor (7945.5)     		tx = 7945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484832763671875 × 214)
    floor (0.484832763671875 × 16384)
    floor (7943.5)     		ty = 7943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7945 / 7943 ti = "14/7945/7943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7945/7943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7945 ÷ 214
    7945 ÷ 16384     		x = 0.48492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7943 ÷ 214
    7943 ÷ 16384     		y = 0.48480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.0301513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09472331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48480224609375 × 2 - 1) × π
    0.0303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09472331} λ = -0.09472331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0954903040431519))-π/2
    2×atan(1.10019815450839)-π/2
    2×0.833070920505208-π/2
    1.66614184101042-1.57079632675     		φ = 0.09534551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09472331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09534551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.462895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7945 KachelY 7943 -0.09472331 0.09534551 -5.427246 5.462895
    Oben rechts KachelX + 1 7946 KachelY 7943 -0.09433982 0.09534551 -5.405274 5.462895
    Unten links KachelX 7945 KachelY + 1 7944 -0.09472331 0.09496375 -5.427246 5.441022
    Unten rechts KachelX + 1 7946 KachelY + 1 7944 -0.09433982 0.09496375 -5.405274 5.441022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09534551-0.09496375) × R
    0.000381759999999995 × 6371000     		dl = 2432.19295999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09534551-0.09496375) × R
    0.000381759999999995 × 6371000     		dr = 2432.19295999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09472331--0.09433982) × cos(0.09534551) × R
    0.00038349 × 0.995458059236125 × 6371000     		do = 2432.1178531504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09472331--0.09433982) × cos(0.09496375) × R
    0.00038349 × 0.995494330673539 × 6371000     		du = 2432.20647206274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09534551)-sin(0.09496375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995458059236125-0.995494330673539)×R²
    abs(-0.09433982--0.09472331)×3.6271437413693e-05×R²
    0.00038349×3.6271437413693e-05×6371000²
    0.00038349×3.6271437413693e-05×40589641000000     		ar = 5915487.76131398m²