Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79439 / 38481
↖ ↑ ↗
← N 59.421330°
E 38.185730°		 ← 155.34 m → N 59.421330°
E 38.188476°		 →
↑
155.39 m
↓
↑
155.39 m
↓
N 59.419933°
E 38.185730°		 ← 155.35 m →
24 139 m²		 N 59.419933°
E 38.188476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606075286865234 y=0.293590545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606075286865234 × 217)
    floor (0.606075286865234 × 131072)
    floor (79439.5)     		tx = 79439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293590545654297 × 217)
    floor (0.293590545654297 × 131072)
    floor (38481.5)     		ty = 38481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79439 / 38481 ti = "17/79439/38481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79439/38481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79439 ÷ 217
    79439 ÷ 131072     		x = 0.606071472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38481 ÷ 217
    38481 ÷ 131072     		y = 0.293586730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606071472167969 × 2 - 1) × π
    0.212142944335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.66646672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293586730957031 × 2 - 1) × π
    0.412826538085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.29693281922062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66646672} λ = 0.66646672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29693281922062))-π/2
    2×atan(3.65805951340773)-π/2
    2×1.3039470930896-π/2
    2.6078941861792-1.57079632675     		φ = 1.03709786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66646672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.185730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03709786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.421330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79439 KachelY 38481 0.66646672 1.03709786 38.185730 59.421330
    Oben rechts KachelX + 1 79440 KachelY 38481 0.66651465 1.03709786 38.188476 59.421330
    Unten links KachelX 79439 KachelY + 1 38482 0.66646672 1.03707347 38.185730 59.419933
    Unten rechts KachelX + 1 79440 KachelY + 1 38482 0.66651465 1.03707347 38.188476 59.419933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03709786-1.03707347) × R
    2.43900000000963e-05 × 6371000     		dl = 155.388690000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03709786-1.03707347) × R
    2.43900000000963e-05 × 6371000     		dr = 155.388690000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66646672-0.66651465) × cos(1.03709786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508720939726089 × 6371000     		do = 155.344058858361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66646672-0.66651465) × cos(1.03707347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508741937693462 × 6371000     		du = 155.350470840304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03709786)-sin(1.03707347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508720939726089-0.508741937693462)×R²
    abs(0.66651465-0.66646672)×2.09979673732041e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09979673732041e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09979673732041e-05×40589641000000     		ar = 24139.2079814187m²