Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79433 / 38472
↖ ↑ ↗
← N 59.433903°
E 38.169250°		 ← 155.32 m → N 59.433903°
E 38.171997°		 →
↑
155.32 m
↓
↑
155.32 m
↓
N 59.432506°
E 38.169250°		 ← 155.33 m →
24 125 m²		 N 59.432506°
E 38.171997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606029510498047 y=0.293521881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606029510498047 × 217)
    floor (0.606029510498047 × 131072)
    floor (79433.5)     		tx = 79433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293521881103516 × 217)
    floor (0.293521881103516 × 131072)
    floor (38472.5)     		ty = 38472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79433 / 38472 ti = "17/79433/38472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79433/38472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79433 ÷ 217
    79433 ÷ 131072     		x = 0.606025695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38472 ÷ 217
    38472 ÷ 131072     		y = 0.29351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.606025695800781 × 2 - 1) × π
    0.212051391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.66617909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29351806640625 × 2 - 1) × π
    0.4129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2973642513172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66617909} λ = 0.66617909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2973642513172))-π/2
    2×atan(3.65963805818598)-π/2
    2×1.30405681198174-π/2
    2.60811362396348-1.57079632675     		φ = 1.03731730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66617909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.169250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03731730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.433903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79433 KachelY 38472 0.66617909 1.03731730 38.169250 59.433903
    Oben rechts KachelX + 1 79434 KachelY 38472 0.66622703 1.03731730 38.171997 59.433903
    Unten links KachelX 79433 KachelY + 1 38473 0.66617909 1.03729292 38.169250 59.432506
    Unten rechts KachelX + 1 79434 KachelY + 1 38473 0.66622703 1.03729292 38.171997 59.432506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03731730-1.03729292) × R
    2.4379999999935e-05 × 6371000     		dl = 155.324979999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03731730-1.03729292) × R
    2.4379999999935e-05 × 6371000     		dr = 155.324979999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66617909-0.66622703) × cos(1.03731730) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.508532004676172 × 6371000     		do = 155.318763842161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66617909-0.66622703) × cos(1.03729292) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.508552996755535 × 6371000     		du = 155.325175363535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03731730)-sin(1.03729292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508532004676172-0.508552996755535)×R²
    abs(0.66622703-0.66617909)×2.09920793633467e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.09920793633467e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.09920793633467e-05×40589641000000     		ar = 24125.3818232985m²