Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79428 / 38340
↖ ↑ ↗
← N 59.617769°
E 38.155518°		 ← 154.47 m → N 59.617769°
E 38.158264°		 →
↑
154.43 m
↓
↑
154.43 m
↓
N 59.616380°
E 38.155518°		 ← 154.48 m →
23 856 m²		 N 59.616380°
E 38.158264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605991363525391 y=0.292514801025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605991363525391 × 217)
    floor (0.605991363525391 × 131072)
    floor (79428.5)     		tx = 79428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292514801025391 × 217)
    floor (0.292514801025391 × 131072)
    floor (38340.5)     		ty = 38340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79428 / 38340 ti = "17/79428/38340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79428/38340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79428 ÷ 217
    79428 ÷ 131072     		x = 0.605987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38340 ÷ 217
    38340 ÷ 131072     		y = 0.292510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605987548828125 × 2 - 1) × π
    0.21197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66593941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292510986328125 × 2 - 1) × π
    0.41497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30369192206705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66593941} λ = 0.66593941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30369192206705))-π/2
    2×atan(3.68286846254594)-π/2
    2×1.30566134573212-π/2
    2.61132269146425-1.57079632675     		φ = 1.04052636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66593941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.155518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04052636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.617769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79428 KachelY 38340 0.66593941 1.04052636 38.155518 59.617769
    Oben rechts KachelX + 1 79429 KachelY 38340 0.66598735 1.04052636 38.158264 59.617769
    Unten links KachelX 79428 KachelY + 1 38341 0.66593941 1.04050212 38.155518 59.616380
    Unten rechts KachelX + 1 79429 KachelY + 1 38341 0.66598735 1.04050212 38.158264 59.616380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04052636-1.04050212) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dl = 154.433040000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04052636-1.04050212) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dr = 154.433040000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66593941-0.66598735) × cos(1.04052636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5057662520393 × 6371000     		do = 154.474031796029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66593941-0.66598735) × cos(1.04050212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.505787163025129 × 6371000     		du = 154.480418549349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04052636)-sin(1.04050212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5057662520393-0.505787163025129)×R²
    abs(0.66598735-0.66593941)×2.09109858290146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09109858290146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09109858290146e-05×40589641000000     		ar = 23856.3874955775m²