Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79426 / 38338
↖ ↑ ↗
← N 59.620547°
E 38.150025°		 ← 154.43 m → N 59.620547°
E 38.152771°		 →
↑
154.43 m
↓
↑
154.43 m
↓
N 59.619158°
E 38.150025°		 ← 154.44 m →
23 849 m²		 N 59.619158°
E 38.152771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605976104736328 y=0.292499542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605976104736328 × 217)
    floor (0.605976104736328 × 131072)
    floor (79426.5)     		tx = 79426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292499542236328 × 217)
    floor (0.292499542236328 × 131072)
    floor (38338.5)     		ty = 38338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79426 / 38338 ti = "17/79426/38338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79426/38338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79426 ÷ 217
    79426 ÷ 131072     		x = 0.605972290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38338 ÷ 217
    38338 ÷ 131072     		y = 0.292495727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605972290039062 × 2 - 1) × π
    0.211944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66584354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292495727539062 × 2 - 1) × π
    0.415008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30378779586629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66584354} λ = 0.66584354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30378779586629))-π/2
    2×atan(3.68322157006416)-π/2
    2×1.30568558959539-π/2
    2.61137117919078-1.57079632675     		φ = 1.04057485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66584354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.150025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04057485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.620547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79426 KachelY 38338 0.66584354 1.04057485 38.150025 59.620547
    Oben rechts KachelX + 1 79427 KachelY 38338 0.66589147 1.04057485 38.152771 59.620547
    Unten links KachelX 79426 KachelY + 1 38339 0.66584354 1.04055061 38.150025 59.619158
    Unten rechts KachelX + 1 79427 KachelY + 1 38339 0.66589147 1.04055061 38.152771 59.619158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04057485-1.04055061) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dl = 154.433040000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04057485-1.04055061) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dr = 154.433040000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66584354-0.66589147) × cos(1.04057485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.505724420549173 × 6371000     		do = 154.429035679564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66584354-0.66589147) × cos(1.04055061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.505745332129466 × 6371000     		du = 154.435421282173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04057485)-sin(1.04055061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505724420549173-0.505745332129466)×R²
    abs(0.66589147-0.66584354)×2.09115802931592e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09115802931592e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09115802931592e-05×40589641000000     		ar = 23849.4385194536m²