Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79423 / 38464
↖ ↑ ↗
← N 59.445075°
E 38.141785°		 ← 155.24 m → N 59.445075°
E 38.144531°		 →
↑
155.26 m
↓
↑
155.26 m
↓
N 59.443679°
E 38.141785°		 ← 155.24 m →
24 102 m²		 N 59.443679°
E 38.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605953216552734 y=0.293460845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605953216552734 × 217)
    floor (0.605953216552734 × 131072)
    floor (79423.5)     		tx = 79423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293460845947266 × 217)
    floor (0.293460845947266 × 131072)
    floor (38464.5)     		ty = 38464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79423 / 38464 ti = "17/79423/38464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79423/38464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79423 ÷ 217
    79423 ÷ 131072     		x = 0.605949401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38464 ÷ 217
    38464 ÷ 131072     		y = 0.29345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605949401855469 × 2 - 1) × π
    0.211898803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.66569973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29345703125 × 2 - 1) × π
    0.4130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29774774651416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66569973} λ = 0.66569973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29774774651416))-π/2
    2×atan(3.66104178094717)-π/2
    2×1.30415430567485-π/2
    2.60830861134971-1.57079632675     		φ = 1.03751228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66569973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.141785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03751228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.445075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79423 KachelY 38464 0.66569973 1.03751228 38.141785 59.445075
    Oben rechts KachelX + 1 79424 KachelY 38464 0.66574766 1.03751228 38.144531 59.445075
    Unten links KachelX 79423 KachelY + 1 38465 0.66569973 1.03748791 38.141785 59.443679
    Unten rechts KachelX + 1 79424 KachelY + 1 38465 0.66574766 1.03748791 38.144531 59.443679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03751228-1.03748791) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dl = 155.261269999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03751228-1.03748791) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dr = 155.261269999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66569973-0.66574766) × cos(1.03751228) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.508364108829362 × 6371000     		do = 155.23509625101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66569973-0.66574766) × cos(1.03748791) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.508385094714442 × 6371000     		du = 155.24150454348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03751228)-sin(1.03748791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508364108829362-0.508385094714442)×R²
    abs(0.66574766-0.66569973)×2.09858850799272e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.09858850799272e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.09858850799272e-05×40589641000000     		ar = 24102.4956734676m²