Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79422 / 38470
↖ ↑ ↗
← N 59.436696°
E 38.139038°		 ← 155.31 m → N 59.436696°
E 38.141785°		 →
↑
155.32 m
↓
↑
155.32 m
↓
N 59.435300°
E 38.139038°		 ← 155.31 m →
24 123 m²		 N 59.435300°
E 38.141785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605945587158203 y=0.293506622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605945587158203 × 217)
    floor (0.605945587158203 × 131072)
    floor (79422.5)     		tx = 79422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293506622314453 × 217)
    floor (0.293506622314453 × 131072)
    floor (38470.5)     		ty = 38470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79422 / 38470 ti = "17/79422/38470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79422/38470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79422 ÷ 217
    79422 ÷ 131072     		x = 0.605941772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38470 ÷ 217
    38470 ÷ 131072     		y = 0.293502807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605941772460938 × 2 - 1) × π
    0.211883544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66565179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293502807617188 × 2 - 1) × π
    0.412994384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29746012511644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66565179} λ = 0.66565179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29746012511644))-π/2
    2×atan(3.6599889384103)-π/2
    2×1.30408118842334-π/2
    2.60816237684668-1.57079632675     		φ = 1.03736605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66565179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.139038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03736605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.436696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79422 KachelY 38470 0.66565179 1.03736605 38.139038 59.436696
    Oben rechts KachelX + 1 79423 KachelY 38470 0.66569973 1.03736605 38.141785 59.436696
    Unten links KachelX 79422 KachelY + 1 38471 0.66565179 1.03734167 38.139038 59.435300
    Unten rechts KachelX + 1 79423 KachelY + 1 38471 0.66569973 1.03734167 38.141785 59.435300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03736605-1.03734167) × R
    2.4379999999935e-05 × 6371000     		dl = 155.324979999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03736605-1.03734167) × R
    2.4379999999935e-05 × 6371000     		dr = 155.324979999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66565179-0.66569973) × cos(1.03736605) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.508490028221346 × 6371000     		do = 155.305943152383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66565179-0.66569973) × cos(1.03734167) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.5085110209051 × 6371000     		du = 155.312354858353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03736605)-sin(1.03734167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508490028221346-0.5085110209051)×R²
    abs(0.66569973-0.66565179)×2.09926837537733e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.09926837537733e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.09926837537733e-05×40589641000000     		ar = 24123.3904640296m²