Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79420 / 38348
↖ ↑ ↗
← N 59.606654°
E 38.133545°		 ← 154.53 m → N 59.606654°
E 38.136291°		 →
↑
154.50 m
↓
↑
154.50 m
↓
N 59.605265°
E 38.133545°		 ← 154.53 m →
23 874 m²		 N 59.605265°
E 38.136291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605930328369141 y=0.292575836181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605930328369141 × 217)
    floor (0.605930328369141 × 131072)
    floor (79420.5)     		tx = 79420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292575836181641 × 217)
    floor (0.292575836181641 × 131072)
    floor (38348.5)     		ty = 38348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79420 / 38348 ti = "17/79420/38348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79420/38348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79420 ÷ 217
    79420 ÷ 131072     		x = 0.605926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38348 ÷ 217
    38348 ÷ 131072     		y = 0.292572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605926513671875 × 2 - 1) × π
    0.21185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66555591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292572021484375 × 2 - 1) × π
    0.41485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30330842687009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66555591} λ = 0.66555591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30330842687009))-π/2
    2×atan(3.68145637096199)-π/2
    2×1.30556435022566-π/2
    2.61112870045131-1.57079632675     		φ = 1.04033237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66555591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.133545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04033237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.606654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79420 KachelY 38348 0.66555591 1.04033237 38.133545 59.606654
    Oben rechts KachelX + 1 79421 KachelY 38348 0.66560385 1.04033237 38.136291 59.606654
    Unten links KachelX 79420 KachelY + 1 38349 0.66555591 1.04030812 38.133545 59.605265
    Unten rechts KachelX + 1 79421 KachelY + 1 38349 0.66560385 1.04030812 38.136291 59.605265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04033237-1.04030812) × R
    2.42500000000589e-05 × 6371000     		dl = 154.496750000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04033237-1.04030812) × R
    2.42500000000589e-05 × 6371000     		dr = 154.496750000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66555591-0.66560385) × cos(1.04033237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.505933591984018 × 6371000     		do = 154.525141722475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66555591-0.66560385) × cos(1.04030812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.505954509216732 × 6371000     		du = 154.531530383756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04033237)-sin(1.04030812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505933591984018-0.505954509216732)×R²
    abs(0.66560385-0.66555591)×2.0917232714468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0917232714468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0917232714468e-05×40589641000000     		ar = 23874.1257041777m²