Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7942 / 7958
↖ ↑ ↗
← N  5.134715°
W  5.493164°		 ← 2 433.47 m → N  5.134715°
W  5.471191°		 →
↑
2 433.53 m
↓
↑
2 433.53 m
↓
N  5.112830°
W  5.493164°		 ← 2 433.56 m →
5 922 035 m²		 N  5.112830°
W  5.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484771728515625 y=0.485748291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484771728515625 × 214)
    floor (0.484771728515625 × 16384)
    floor (7942.5)     		tx = 7942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485748291015625 × 214)
    floor (0.485748291015625 × 16384)
    floor (7958.5)     		ty = 7958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7942 / 7958 ti = "14/7942/7958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7942/7958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7942 ÷ 214
    7942 ÷ 16384     		x = 0.4847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7958 ÷ 214
    7958 ÷ 16384     		y = 0.4857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09587380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4857177734375 × 2 - 1) × π
    0.028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0897378760887451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09587380} λ = -0.09587380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0897378760887451))-π/2
    2×atan(1.09388751204887)-π/2
    2×0.830207001653115-π/2
    1.66041400330623-1.57079632675     		φ = 0.08961768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09587380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08961768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.134715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7942 KachelY 7958 -0.09587380 0.08961768 -5.493164 5.134715
    Oben rechts KachelX + 1 7943 KachelY 7958 -0.09549030 0.08961768 -5.471191 5.134715
    Unten links KachelX 7942 KachelY + 1 7959 -0.09587380 0.08923571 -5.493164 5.112830
    Unten rechts KachelX + 1 7943 KachelY + 1 7959 -0.09549030 0.08923571 -5.471191 5.112830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08961768-0.08923571) × R
    0.000381970000000009 × 6371000     		dl = 2433.53087000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08961768-0.08923571) × R
    0.000381970000000009 × 6371000     		dr = 2433.53087000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09587380--0.09549030) × cos(0.08961768) × R
    0.000383499999999995 × 0.995987022589588 × 6371000     		do = 2433.47367857212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09587380--0.09549030) × cos(0.08923571) × R
    0.000383499999999995 × 0.996021135394169 × 6371000     		du = 2433.55702565413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08961768)-sin(0.08923571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995987022589588-0.996021135394169)×R²
    abs(-0.09549030--0.09587380)×3.4112804580988e-05×R²
    0.000383499999999995×3.4112804580988e-05×6371000²
    0.000383499999999995×3.4112804580988e-05×40589641000000     		ar = 5922034.80398893m²