Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7942 / 7957
↖ ↑ ↗
← N  5.156599°
W  5.493164°		 ← 2 433.39 m → N  5.156599°
W  5.471191°		 →
↑
2 433.40 m
↓
↑
2 433.40 m
↓
N  5.134715°
W  5.493164°		 ← 2 433.47 m →
5 921 521 m²		 N  5.134715°
W  5.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484771728515625 y=0.485687255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484771728515625 × 214)
    floor (0.484771728515625 × 16384)
    floor (7942.5)     		tx = 7942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485687255859375 × 214)
    floor (0.485687255859375 × 16384)
    floor (7957.5)     		ty = 7957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7942 / 7957 ti = "14/7942/7957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7942/7957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7942 ÷ 214
    7942 ÷ 16384     		x = 0.4847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7957 ÷ 214
    7957 ÷ 16384     		y = 0.48565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09587380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48565673828125 × 2 - 1) × π
    0.0286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09587380} λ = -0.09587380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0901213712857056))-π/2
    2×atan(1.09430709310427)-π/2
    2×0.830397976490896-π/2
    1.66079595298179-1.57079632675     		φ = 0.08999963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09587380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08999963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.156599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7942 KachelY 7957 -0.09587380 0.08999963 -5.493164 5.156599
    Oben rechts KachelX + 1 7943 KachelY 7957 -0.09549030 0.08999963 -5.471191 5.156599
    Unten links KachelX 7942 KachelY + 1 7958 -0.09587380 0.08961768 -5.493164 5.134715
    Unten rechts KachelX + 1 7943 KachelY + 1 7958 -0.09549030 0.08961768 -5.471191 5.134715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08999963-0.08961768) × R
    0.000381949999999992 × 6371000     		dl = 2433.40344999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08999963-0.08961768) × R
    0.000381949999999992 × 6371000     		dr = 2433.40344999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09587380--0.09549030) × cos(0.08999963) × R
    0.000383499999999995 × 0.995952766266989 × 6371000     		do = 2433.38998083563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09587380--0.09549030) × cos(0.08961768) × R
    0.000383499999999995 × 0.995987022589588 × 6371000     		du = 2433.47367857212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08999963)-sin(0.08961768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995952766266989-0.995987022589588)×R²
    abs(-0.09549030--0.09587380)×3.42563225985693e-05×R²
    0.000383499999999995×3.42563225985693e-05×6371000²
    0.000383499999999995×3.42563225985693e-05×40589641000000     		ar = 5921521.48172984m²