Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7939 / 7951
↖ ↑ ↗
← N  5.287888°
W  5.559082°		 ← 2 432.82 m → N  5.287888°
W  5.537109°		 →
↑
2 432.89 m
↓
↑
2 432.89 m
↓
N  5.266008°
W  5.559082°		 ← 2 432.90 m →
5 918 890 m²		 N  5.266008°
W  5.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484588623046875 y=0.485321044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484588623046875 × 214)
    floor (0.484588623046875 × 16384)
    floor (7939.5)     		tx = 7939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485321044921875 × 214)
    floor (0.485321044921875 × 16384)
    floor (7951.5)     		ty = 7951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7939 / 7951 ti = "14/7939/7951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7939/7951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7939 ÷ 214
    7939 ÷ 16384     		x = 0.48455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7951 ÷ 214
    7951 ÷ 16384     		y = 0.48529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.0308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09702428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48529052734375 × 2 - 1) × π
    0.0294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0924223424674683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09702428} λ = -0.09702428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0924223424674683))-π/2
    2×atan(1.09682796129982)-π/2
    2×0.831543686320766-π/2
    1.66308737264153-1.57079632675     		φ = 0.09229105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09702428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09229105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.287888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7939 KachelY 7951 -0.09702428 0.09229105 -5.559082 5.287888
    Oben rechts KachelX + 1 7940 KachelY 7951 -0.09664079 0.09229105 -5.537109 5.287888
    Unten links KachelX 7939 KachelY + 1 7952 -0.09702428 0.09190918 -5.559082 5.266008
    Unten rechts KachelX + 1 7940 KachelY + 1 7952 -0.09664079 0.09190918 -5.537109 5.266008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09229105-0.09190918) × R
    0.000381870000000006 × 6371000     		dl = 2432.89377000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09229105-0.09190918) × R
    0.000381870000000006 × 6371000     		dr = 2432.89377000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09702428--0.09664079) × cos(0.09229105) × R
    0.00038349 × 0.995744203109956 × 6371000     		do = 2432.81696409501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09702428--0.09664079) × cos(0.09190918) × R
    0.00038349 × 0.995779323680174 × 6371000     		du = 2432.9027711916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09229105)-sin(0.09190918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995744203109956-0.995779323680174)×R²
    abs(-0.09664079--0.09702428)×3.51205702182611e-05×R²
    0.00038349×3.51205702182611e-05×6371000²
    0.00038349×3.51205702182611e-05×40589641000000     		ar = 5918889.68719929m²