Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79328 / 38368
↖ ↑ ↗
← N 59.578851°
E 37.880859°		 ← 154.65 m → N 59.578851°
E 37.883606°		 →
↑
154.69 m
↓
↑
154.69 m
↓
N 59.577460°
E 37.880859°		 ← 154.66 m →
23 923 m²		 N 59.577460°
E 37.883606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605228424072266 y=0.292728424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605228424072266 × 217)
    floor (0.605228424072266 × 131072)
    floor (79328.5)     		tx = 79328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292728424072266 × 217)
    floor (0.292728424072266 × 131072)
    floor (38368.5)     		ty = 38368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79328 / 38368 ti = "17/79328/38368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79328/38368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79328 ÷ 217
    79328 ÷ 131072     		x = 0.605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38368 ÷ 217
    38368 ÷ 131072     		y = 0.292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.605224609375 × 2 - 1) × π
    0.21044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.66114572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292724609375 × 2 - 1) × π
    0.41455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30234968887769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66114572} λ = 0.66114572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30234968887769))-π/2
    2×atan(3.67792851028904)-π/2
    2×1.30532172104752-π/2
    2.61064344209504-1.57079632675     		φ = 1.03984712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66114572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.880859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03984712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.578851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79328 KachelY 38368 0.66114572 1.03984712 37.880859 59.578851
    Oben rechts KachelX + 1 79329 KachelY 38368 0.66119366 1.03984712 37.883606 59.578851
    Unten links KachelX 79328 KachelY + 1 38369 0.66114572 1.03982284 37.880859 59.577460
    Unten rechts KachelX + 1 79329 KachelY + 1 38369 0.66119366 1.03982284 37.883606 59.577460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03984712-1.03982284) × R
    2.42799999998766e-05 × 6371000     		dl = 154.687879999214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03984712-1.03982284) × R
    2.42799999998766e-05 × 6371000     		dr = 154.687879999214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66114572-0.66119366) × cos(1.03984712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506352095674761 × 6371000     		do = 154.652963521913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66114572-0.66119366) × cos(1.03982284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506373032820848 × 6371000     		du = 154.65935826525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03984712)-sin(1.03982284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506352095674761-0.506373032820848)×R²
    abs(0.66119366-0.66114572)×2.09371460863084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09371460863084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09371460863084e-05×40589641000000     		ar = 23923.4336584555m²