Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79312 / 38320
↖ ↑ ↗
← N 59.645540°
E 37.836914°		 ← 154.35 m → N 59.645540°
E 37.839661°		 →
↑
154.31 m
↓
↑
154.31 m
↓
N 59.644152°
E 37.836914°		 ← 154.35 m →
23 817 m²		 N 59.644152°
E 37.839661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605106353759766 y=0.292362213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605106353759766 × 217)
    floor (0.605106353759766 × 131072)
    floor (79312.5)     		tx = 79312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292362213134766 × 217)
    floor (0.292362213134766 × 131072)
    floor (38320.5)     		ty = 38320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79312 / 38320 ti = "17/79312/38320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79312/38320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79312 ÷ 217
    79312 ÷ 131072     		x = 0.6051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38320 ÷ 217
    38320 ÷ 131072     		y = 0.2923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6051025390625 × 2 - 1) × π
    0.210205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.66037873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2923583984375 × 2 - 1) × π
    0.415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30465066005945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66037873} λ = 0.66037873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30465066005945))-π/2
    2×atan(3.68640106160988)-π/2
    2×1.30590369414727-π/2
    2.61180738829454-1.57079632675     		φ = 1.04101106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66037873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.836914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04101106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.645540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79312 KachelY 38320 0.66037873 1.04101106 37.836914 59.645540
    Oben rechts KachelX + 1 79313 KachelY 38320 0.66042667 1.04101106 37.839661 59.645540
    Unten links KachelX 79312 KachelY + 1 38321 0.66037873 1.04098684 37.836914 59.644152
    Unten rechts KachelX + 1 79313 KachelY + 1 38321 0.66042667 1.04098684 37.839661 59.644152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04101106-1.04098684) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dl = 154.305620000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04101106-1.04098684) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dr = 154.305620000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66037873-0.66042667) × cos(1.04101106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.505348056223474 × 6371000     		do = 154.346304029515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66037873-0.66042667) × cos(1.04098684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.505368955891214 × 6371000     		du = 154.352687326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04101106)-sin(1.04098684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505348056223474-0.505368955891214)×R²
    abs(0.66042667-0.66037873)×2.08996677404372e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08996677404372e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08996677404372e-05×40589641000000     		ar = 23816.9946284769m²