Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79297 / 38336
↖ ↑ ↗
← N 59.623325°
E 37.795716°		 ← 154.42 m → N 59.623325°
E 37.798462°		 →
↑
154.50 m
↓
↑
154.50 m
↓
N 59.621936°
E 37.795716°		 ← 154.42 m →
23 857 m²		 N 59.621936°
E 37.798462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604991912841797 y=0.292484283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604991912841797 × 217)
    floor (0.604991912841797 × 131072)
    floor (79297.5)     		tx = 79297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292484283447266 × 217)
    floor (0.292484283447266 × 131072)
    floor (38336.5)     		ty = 38336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79297 / 38336 ti = "17/79297/38336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79297/38336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79297 ÷ 217
    79297 ÷ 131072     		x = 0.604988098144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38336 ÷ 217
    38336 ÷ 131072     		y = 0.29248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604988098144531 × 2 - 1) × π
    0.209976196289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.65965968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29248046875 × 2 - 1) × π
    0.4150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65965968} λ = 0.65965968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30388366966553))-π/2
    2×atan(3.68357471143775)-π/2
    2×1.30570983145353-π/2
    2.61141966290706-1.57079632675     		φ = 1.04062334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65965968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.795716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04062334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.623325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79297 KachelY 38336 0.65965968 1.04062334 37.795716 59.623325
    Oben rechts KachelX + 1 79298 KachelY 38336 0.65970761 1.04062334 37.798462 59.623325
    Unten links KachelX 79297 KachelY + 1 38337 0.65965968 1.04059909 37.795716 59.621936
    Unten rechts KachelX + 1 79298 KachelY + 1 38337 0.65970761 1.04059909 37.798462 59.621936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04062334-1.04059909) × R
    2.42500000000589e-05 × 6371000     		dl = 154.496750000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04062334-1.04059909) × R
    2.42500000000589e-05 × 6371000     		dr = 154.496750000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65965968-0.65970761) × cos(1.04062334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.505682587869946 × 6371000     		do = 154.416261567715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65965968-0.65970761) × cos(1.04059909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.505703508671728 × 6371000     		du = 154.422649986216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04062334)-sin(1.04059909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505682587869946-0.505703508671728)×R²
    abs(0.65970761-0.65965968)×2.09208017816209e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09208017816209e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09208017816209e-05×40589641000000     		ar = 23857.3040555658m²