Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78852 / 37900
↖ ↑ ↗
← N 60.223447°
E 36.573487°		 ← 151.65 m → N 60.223447°
E 36.576233°		 →
↑
151.69 m
↓
↑
151.69 m
↓
N 60.222083°
E 36.573487°		 ← 151.65 m →
23 005 m²		 N 60.222083°
E 36.576233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601596832275391 y=0.289157867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601596832275391 × 217)
    floor (0.601596832275391 × 131072)
    floor (78852.5)     		tx = 78852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289157867431641 × 217)
    floor (0.289157867431641 × 131072)
    floor (37900.5)     		ty = 37900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78852 / 37900 ti = "17/78852/37900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78852/37900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78852 ÷ 217
    78852 ÷ 131072     		x = 0.601593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37900 ÷ 217
    37900 ÷ 131072     		y = 0.289154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601593017578125 × 2 - 1) × π
    0.20318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63832776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289154052734375 × 2 - 1) × π
    0.42169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32478415789987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63832776} λ = 0.63832776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32478415789987))-π/2
    2×atan(3.7613734046415)-π/2
    2×1.31094688369691-π/2
    2.62189376739383-1.57079632675     		φ = 1.05109744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63832776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.573487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05109744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.223447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78852 KachelY 37900 0.63832776 1.05109744 36.573487 60.223447
    Oben rechts KachelX + 1 78853 KachelY 37900 0.63837569 1.05109744 36.576233 60.223447
    Unten links KachelX 78852 KachelY + 1 37901 0.63832776 1.05107363 36.573487 60.222083
    Unten rechts KachelX + 1 78853 KachelY + 1 37901 0.63837569 1.05107363 36.576233 60.222083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05109744-1.05107363) × R
    2.38099999998465e-05 × 6371000     		dl = 151.693509999022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05109744-1.05107363) × R
    2.38099999998465e-05 × 6371000     		dr = 151.693509999022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63832776-0.63837569) × cos(1.05109744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.49661880350719 × 6371000     		do = 151.648525975219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63832776-0.63837569) × cos(1.05107363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.496639469702533 × 6371000     		du = 151.654836646582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05109744)-sin(1.05107363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49661880350719-0.496639469702533)×R²
    abs(0.63837569-0.63832776)×2.06661953435217e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.06661953435217e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.06661953435217e-05×40589641000000     		ar = 23004.5758363789m²