Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78845 / 37892
↖ ↑ ↗
← N 60.234357°
E 36.554260°		 ← 151.60 m → N 60.234357°
E 36.557007°		 →
↑
151.63 m
↓
↑
151.63 m
↓
N 60.232994°
E 36.554260°		 ← 151.60 m →
22 987 m²		 N 60.232994°
E 36.557007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601543426513672 y=0.289096832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601543426513672 × 217)
    floor (0.601543426513672 × 131072)
    floor (78845.5)     		tx = 78845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289096832275391 × 217)
    floor (0.289096832275391 × 131072)
    floor (37892.5)     		ty = 37892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78845 / 37892 ti = "17/78845/37892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78845/37892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78845 ÷ 217
    78845 ÷ 131072     		x = 0.601539611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37892 ÷ 217
    37892 ÷ 131072     		y = 0.289093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601539611816406 × 2 - 1) × π
    0.203079223632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.63799220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289093017578125 × 2 - 1) × π
    0.42181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32516765309683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63799220} λ = 0.63799220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32516765309683))-π/2
    2×atan(3.76281614990142)-π/2
    2×1.31104209331247-π/2
    2.62208418662493-1.57079632675     		φ = 1.05128786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63799220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.554260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05128786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.234357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78845 KachelY 37892 0.63799220 1.05128786 36.554260 60.234357
    Oben rechts KachelX + 1 78846 KachelY 37892 0.63804013 1.05128786 36.557007 60.234357
    Unten links KachelX 78845 KachelY + 1 37893 0.63799220 1.05126406 36.554260 60.232994
    Unten rechts KachelX + 1 78846 KachelY + 1 37893 0.63804013 1.05126406 36.557007 60.232994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05128786-1.05126406) × R
    2.37999999999072e-05 × 6371000     		dl = 151.629799999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05128786-1.05126406) × R
    2.37999999999072e-05 × 6371000     		dr = 151.629799999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63799220-0.63804013) × cos(1.05128786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.496453515893741 × 6371000     		do = 151.598053414043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63799220-0.63804013) × cos(1.05126406) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.496474175659862 × 6371000     		du = 151.604362122165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05128786)-sin(1.05126406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496453515893741-0.496474175659862)×R²
    abs(0.63804013-0.63799220)×2.06597661209229e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.06597661209229e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.06597661209229e-05×40589641000000     		ar = 22987.2608146852m²