Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78844 / 37876
↖ ↑ ↗
← N 60.256167°
E 36.551514°		 ← 151.53 m → N 60.256167°
E 36.554260°		 →
↑
151.50 m
↓
↑
151.50 m
↓
N 60.254805°
E 36.551514°		 ← 151.54 m →
22 957 m²		 N 60.254805°
E 36.554260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601535797119141 y=0.288974761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601535797119141 × 217)
    floor (0.601535797119141 × 131072)
    floor (78844.5)     		tx = 78844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288974761962891 × 217)
    floor (0.288974761962891 × 131072)
    floor (37876.5)     		ty = 37876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78844 / 37876 ti = "17/78844/37876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78844/37876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78844 ÷ 217
    78844 ÷ 131072     		x = 0.601531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37876 ÷ 217
    37876 ÷ 131072     		y = 0.288970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601531982421875 × 2 - 1) × π
    0.20306396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63794426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288970947265625 × 2 - 1) × π
    0.42205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32593464349075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63794426} λ = 0.63794426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32593464349075))-π/2
    2×atan(3.76570330080945)-π/2
    2×1.3112324174812-π/2
    2.6224648349624-1.57079632675     		φ = 1.05166851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63794426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.551514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05166851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.256167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78844 KachelY 37876 0.63794426 1.05166851 36.551514 60.256167
    Oben rechts KachelX + 1 78845 KachelY 37876 0.63799220 1.05166851 36.554260 60.256167
    Unten links KachelX 78844 KachelY + 1 37877 0.63794426 1.05164473 36.551514 60.254805
    Unten rechts KachelX + 1 78845 KachelY + 1 37877 0.63799220 1.05164473 36.554260 60.254805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05166851-1.05164473) × R
    2.37800000000288e-05 × 6371000     		dl = 151.502380000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05166851-1.05164473) × R
    2.37800000000288e-05 × 6371000     		dr = 151.502380000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63794426-0.63799220) × cos(1.05166851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.496123051636889 × 6371000     		do = 151.528750177156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63794426-0.63799220) × cos(1.05164473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.496143698534404 × 6371000     		du = 151.535056271108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05166851)-sin(1.05164473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496123051636889-0.496143698534404)×R²
    abs(0.63799220-0.63794426)×2.06468975151308e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06468975151308e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06468975151308e-05×40589641000000     		ar = 22957.4439854281m²