Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78843 / 37903
↖ ↑ ↗
← N 60.219355°
E 36.548767°		 ← 151.70 m → N 60.219355°
E 36.551514°		 →
↑
151.69 m
↓
↑
151.69 m
↓
N 60.217991°
E 36.548767°		 ← 151.71 m →
23 012 m²		 N 60.217991°
E 36.551514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601528167724609 y=0.289180755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601528167724609 × 217)
    floor (0.601528167724609 × 131072)
    floor (78843.5)     		tx = 78843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289180755615234 × 217)
    floor (0.289180755615234 × 131072)
    floor (37903.5)     		ty = 37903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78843 / 37903 ti = "17/78843/37903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78843/37903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78843 ÷ 217
    78843 ÷ 131072     		x = 0.601524353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37903 ÷ 217
    37903 ÷ 131072     		y = 0.289176940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601524353027344 × 2 - 1) × π
    0.203048706054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.63789632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289176940917969 × 2 - 1) × π
    0.421646118164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.32464034720101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63789632} λ = 0.63789632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32464034720101))-π/2
    2×atan(3.7608325177971)-π/2
    2×1.3109111719196-π/2
    2.6218223438392-1.57079632675     		φ = 1.05102602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63789632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.548767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05102602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.219355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78843 KachelY 37903 0.63789632 1.05102602 36.548767 60.219355
    Oben rechts KachelX + 1 78844 KachelY 37903 0.63794426 1.05102602 36.551514 60.219355
    Unten links KachelX 78843 KachelY + 1 37904 0.63789632 1.05100221 36.548767 60.217991
    Unten rechts KachelX + 1 78844 KachelY + 1 37904 0.63794426 1.05100221 36.551514 60.217991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05102602-1.05100221) × R
    2.38099999998465e-05 × 6371000     		dl = 151.693509999022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05102602-1.05100221) × R
    2.38099999998465e-05 × 6371000     		dr = 151.693509999022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63789632-0.63794426) × cos(1.05102602) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.496680792569217 × 6371000     		do = 151.699098614492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63789632-0.63794426) × cos(1.05100221) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.496701457919985 × 6371000     		du = 151.705410344542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05102602)-sin(1.05100221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496680792569217-0.496701457919985)×R²
    abs(0.63794426-0.63789632)×2.066535076789e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.066535076789e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.066535076789e-05×40589641000000     		ar = 23012.2474579795m²