Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78838 / 37898
↖ ↑ ↗
← N 60.226175°
E 36.535034°		 ← 151.67 m → N 60.226175°
E 36.537781°		 →
↑
151.63 m
↓
↑
151.63 m
↓
N 60.224811°
E 36.535034°		 ← 151.67 m →
22 998 m²		 N 60.224811°
E 36.537781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601490020751953 y=0.289142608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601490020751953 × 217)
    floor (0.601490020751953 × 131072)
    floor (78838.5)     		tx = 78838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289142608642578 × 217)
    floor (0.289142608642578 × 131072)
    floor (37898.5)     		ty = 37898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78838 / 37898 ti = "17/78838/37898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78838/37898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78838 ÷ 217
    78838 ÷ 131072     		x = 0.601486206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37898 ÷ 217
    37898 ÷ 131072     		y = 0.289138793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601486206054688 × 2 - 1) × π
    0.202972412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63765664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289138793945312 × 2 - 1) × π
    0.421722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32488003169911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63765664} λ = 0.63765664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32488003169911))-π/2
    2×atan(3.76173403908759)-π/2
    2×1.31097068907211-π/2
    2.62194137814422-1.57079632675     		φ = 1.05114505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63765664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.535034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05114505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.226175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78838 KachelY 37898 0.63765664 1.05114505 36.535034 60.226175
    Oben rechts KachelX + 1 78839 KachelY 37898 0.63770458 1.05114505 36.537781 60.226175
    Unten links KachelX 78838 KachelY + 1 37899 0.63765664 1.05112125 36.535034 60.224811
    Unten rechts KachelX + 1 78839 KachelY + 1 37899 0.63770458 1.05112125 36.537781 60.224811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05114505-1.05112125) × R
    2.37999999999072e-05 × 6371000     		dl = 151.629799999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05114505-1.05112125) × R
    2.37999999999072e-05 × 6371000     		dr = 151.629799999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63765664-0.63770458) × cos(1.05114505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.496577478951815 × 6371000     		do = 151.667543976093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63765664-0.63770458) × cos(1.05112125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.496598137030305 × 6371000     		du = 151.673853485003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05114505)-sin(1.05112125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496577478951815-0.496598137030305)×R²
    abs(0.63770458-0.63765664)×2.06580784901655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06580784901655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06580784901655e-05×40589641000000     		ar = 22997.7977153664m²