Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78720 / 37760
↖ ↑ ↗
← N 60.413853°
E 36.210937°		 ← 150.80 m → N 60.413853°
E 36.213684°		 →
↑
150.80 m
↓
↑
150.80 m
↓
N 60.412496°
E 36.210937°		 ← 150.80 m →
22 741 m²		 N 60.412496°
E 36.213684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600589752197266 y=0.288089752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600589752197266 × 217)
    floor (0.600589752197266 × 131072)
    floor (78720.5)     		tx = 78720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288089752197266 × 217)
    floor (0.288089752197266 × 131072)
    floor (37760.5)     		ty = 37760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78720 / 37760 ti = "17/78720/37760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78720/37760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78720 ÷ 217
    78720 ÷ 131072     		x = 0.6005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37760 ÷ 217
    37760 ÷ 131072     		y = 0.2880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2880859375 × 2 - 1) × π
    0.423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33149532384668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63200008} λ = 0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33149532384668))-π/2
    2×atan(3.78670150121338)-π/2
    2×1.31260848205272-π/2
    2.62521696410543-1.57079632675     		φ = 1.05442064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05442064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.413853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78720 KachelY 37760 0.63200008 1.05442064 36.210937 60.413853
    Oben rechts KachelX + 1 78721 KachelY 37760 0.63204802 1.05442064 36.213684 60.413853
    Unten links KachelX 78720 KachelY + 1 37761 0.63200008 1.05439697 36.210937 60.412496
    Unten rechts KachelX + 1 78721 KachelY + 1 37761 0.63204802 1.05439697 36.213684 60.412496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05442064-1.05439697) × R
    2.36700000000312e-05 × 6371000     		dl = 150.801570000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05442064-1.05439697) × R
    2.36700000000312e-05 × 6371000     		dr = 150.801570000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63200008-0.63204802) × cos(1.05442064) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.493731632799719 × 6371000     		do = 150.798349309513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63200008-0.63204802) × cos(1.05439697) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.493752216432486 × 6371000     		du = 150.804636080783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05442064)-sin(1.05439697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493731632799719-0.493752216432486)×R²
    abs(0.63204802-0.63200008)×2.05836327668019e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.05836327668019e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.05836327668019e-05×40589641000000     		ar = 22741.1018578557m²