Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77849 / 36897
↖ ↑ ↗
← N 61.563266°
E 33.818665°		 ← 145.41 m → N 61.563266°
E 33.821411°		 →
↑
145.45 m
↓
↑
145.45 m
↓
N 61.561958°
E 33.818665°		 ← 145.42 m →
21 150 m²		 N 61.561958°
E 33.821411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593944549560547 y=0.281505584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593944549560547 × 217)
    floor (0.593944549560547 × 131072)
    floor (77849.5)     		tx = 77849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281505584716797 × 217)
    floor (0.281505584716797 × 131072)
    floor (36897.5)     		ty = 36897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77849 / 36897 ti = "17/77849/36897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77849/36897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77849 ÷ 217
    77849 ÷ 131072     		x = 0.593940734863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36897 ÷ 217
    36897 ÷ 131072     		y = 0.281501770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593940734863281 × 2 - 1) × π
    0.187881469726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.59024705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281501770019531 × 2 - 1) × π
    0.436996459960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.37286486821879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59024705} λ = 0.59024705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37286486821879))-π/2
    2×atan(3.94664112167717)-π/2
    2×1.32263900858021-π/2
    2.64527801716042-1.57079632675     		φ = 1.07448169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59024705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.818665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07448169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.563266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77849 KachelY 36897 0.59024705 1.07448169 33.818665 61.563266
    Oben rechts KachelX + 1 77850 KachelY 36897 0.59029498 1.07448169 33.821411 61.563266
    Unten links KachelX 77849 KachelY + 1 36898 0.59024705 1.07445886 33.818665 61.561958
    Unten rechts KachelX + 1 77850 KachelY + 1 36898 0.59029498 1.07445886 33.821411 61.561958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07448169-1.07445886) × R
    2.28300000000292e-05 × 6371000     		dl = 145.449930000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07448169-1.07445886) × R
    2.28300000000292e-05 × 6371000     		dr = 145.449930000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59024705-0.59029498) × cos(1.07448169) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.476188079690644 × 6371000     		do = 145.409758676226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59024705-0.59029498) × cos(1.07445886) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.476208154977635 × 6371000     		du = 145.415888906614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07448169)-sin(1.07445886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476188079690644-0.476208154977635)×R²
    abs(0.59029498-0.59024705)×2.00752869909948e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00752869909948e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00752869909948e-05×40589641000000     		ar = 21150.2850425967m²