Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77835 / 36892
↖ ↑ ↗
← N 61.569805°
E 33.780212°		 ← 145.41 m → N 61.569805°
E 33.782959°		 →
↑
145.39 m
↓
↑
145.39 m
↓
N 61.568497°
E 33.780212°		 ← 145.42 m →
21 141 m²		 N 61.568497°
E 33.782959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593837738037109 y=0.281467437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593837738037109 × 217)
    floor (0.593837738037109 × 131072)
    floor (77835.5)     		tx = 77835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281467437744141 × 217)
    floor (0.281467437744141 × 131072)
    floor (36892.5)     		ty = 36892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77835 / 36892 ti = "17/77835/36892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77835/36892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77835 ÷ 217
    77835 ÷ 131072     		x = 0.593833923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36892 ÷ 217
    36892 ÷ 131072     		y = 0.281463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593833923339844 × 2 - 1) × π
    0.187667846679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.58957593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281463623046875 × 2 - 1) × π
    0.43707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.37310455271689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58957593} λ = 0.58957593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37310455271689))-π/2
    2×atan(3.94758718374728)-π/2
    2×1.322696070017-π/2
    2.645392140034-1.57079632675     		φ = 1.07459581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58957593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.780212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07459581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.569805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77835 KachelY 36892 0.58957593 1.07459581 33.780212 61.569805
    Oben rechts KachelX + 1 77836 KachelY 36892 0.58962387 1.07459581 33.782959 61.569805
    Unten links KachelX 77835 KachelY + 1 36893 0.58957593 1.07457299 33.780212 61.568497
    Unten rechts KachelX + 1 77836 KachelY + 1 36893 0.58962387 1.07457299 33.782959 61.568497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07459581-1.07457299) × R
    2.28199999998679e-05 × 6371000     		dl = 145.386219999159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07459581-1.07457299) × R
    2.28199999998679e-05 × 6371000     		dr = 145.386219999159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58957593-0.58962387) × cos(1.07459581) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.47608772591493 × 6371000     		do = 145.409445992726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58957593-0.58962387) × cos(1.07457299) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.476107793648588 × 6371000     		du = 145.415575195129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07459581)-sin(1.07457299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47608772591493-0.476107793648588)×R²
    abs(0.58962387-0.58957593)×2.00677336582022e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00677336582022e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00677336582022e-05×40589641000000     		ar = 21140.9752567396m²