Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77804 / 36885
↖ ↑ ↗
← N 61.578956°
E 33.695068°		 ← 145.37 m → N 61.578956°
E 33.697815°		 →
↑
145.32 m
↓
↑
145.32 m
↓
N 61.577650°
E 33.695068°		 ← 145.37 m →
21 125 m²		 N 61.577650°
E 33.697815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593601226806641 y=0.281414031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593601226806641 × 217)
    floor (0.593601226806641 × 131072)
    floor (77804.5)     		tx = 77804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281414031982422 × 217)
    floor (0.281414031982422 × 131072)
    floor (36885.5)     		ty = 36885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77804 / 36885 ti = "17/77804/36885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77804/36885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77804 ÷ 217
    77804 ÷ 131072     		x = 0.593597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36885 ÷ 217
    36885 ÷ 131072     		y = 0.281410217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593597412109375 × 2 - 1) × π
    0.18719482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58808988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281410217285156 × 2 - 1) × π
    0.437179565429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.37344011101423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58808988} λ = 0.58808988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37344011101423))-π/2
    2×atan(3.94891205165404)-π/2
    2×1.32277593582518-π/2
    2.64555187165036-1.57079632675     		φ = 1.07475554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58808988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.695068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07475554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.578956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77804 KachelY 36885 0.58808988 1.07475554 33.695068 61.578956
    Oben rechts KachelX + 1 77805 KachelY 36885 0.58813782 1.07475554 33.697815 61.578956
    Unten links KachelX 77804 KachelY + 1 36886 0.58808988 1.07473273 33.695068 61.577650
    Unten rechts KachelX + 1 77805 KachelY + 1 36886 0.58813782 1.07473273 33.697815 61.577650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07475554-1.07473273) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dl = 145.322509999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07475554-1.07473273) × R
    2.28099999999287e-05 × 6371000     		dr = 145.322509999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58808988-0.58813782) × cos(1.07475554) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475947253632778 × 6371000     		do = 145.366542142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58808988-0.58813782) × cos(1.07473273) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475967314306946 × 6371000     		du = 145.372669188253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07475554)-sin(1.07473273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475947253632778-0.475967314306946)×R²
    abs(0.58813782-0.58808988)×2.00606741673215e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00606741673215e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00606741673215e-05×40589641000000     		ar = 21125.4759736435m²