Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77796 / 36836
↖ ↑ ↗
← N 61.642945°
E 33.673096°		 ← 145.07 m → N 61.642945°
E 33.675843°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
N 61.641640°
E 33.673096°		 ← 145.07 m →
21 045 m²		 N 61.641640°
E 33.675843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593540191650391 y=0.281040191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593540191650391 × 217)
    floor (0.593540191650391 × 131072)
    floor (77796.5)     		tx = 77796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281040191650391 × 217)
    floor (0.281040191650391 × 131072)
    floor (36836.5)     		ty = 36836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77796 / 36836 ti = "17/77796/36836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77796/36836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77796 ÷ 217
    77796 ÷ 131072     		x = 0.593536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36836 ÷ 217
    36836 ÷ 131072     		y = 0.281036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593536376953125 × 2 - 1) × π
    0.18707275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58770639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281036376953125 × 2 - 1) × π
    0.43792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37578901909561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58770639} λ = 0.58770639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37578901909561))-π/2
    2×atan(3.95819858542217)-π/2
    2×1.32333433690714-π/2
    2.64666867381429-1.57079632675     		φ = 1.07587235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58770639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.673096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07587235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.642945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77796 KachelY 36836 0.58770639 1.07587235 33.673096 61.642945
    Oben rechts KachelX + 1 77797 KachelY 36836 0.58775433 1.07587235 33.675843 61.642945
    Unten links KachelX 77796 KachelY + 1 36837 0.58770639 1.07584958 33.673096 61.641640
    Unten rechts KachelX + 1 77797 KachelY + 1 36837 0.58775433 1.07584958 33.675843 61.641640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07587235-1.07584958) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dl = 145.06766999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07587235-1.07584958) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dr = 145.06766999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58770639-0.58775433) × cos(1.07587235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474964751856573 × 6371000     		do = 145.066460809615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58770639-0.58775433) × cos(1.07584958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474984789443211 × 6371000     		du = 145.072580804342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07587235)-sin(1.07584958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474964751856573-0.474984789443211)×R²
    abs(0.58775433-0.58770639)×2.00375866378777e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00375866378777e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00375866378777e-05×40589641000000     		ar = 21044.8973723545m²