Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7736 / 6630
↖ ↑ ↗
← N 32.435613°
W 10.019531°		 ← 2 062.11 m → N 32.435613°
W  9.997558°		 →
↑
2 062.29 m
↓
↑
2 062.29 m
↓
N 32.417066°
W 10.019531°		 ← 2 062.54 m →
4 253 120 m²		 N 32.417066°
W  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472198486328125 y=0.404693603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472198486328125 × 214)
    floor (0.472198486328125 × 16384)
    floor (7736.5)     		tx = 7736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404693603515625 × 214)
    floor (0.404693603515625 × 16384)
    floor (6630.5)     		ty = 6630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7736 / 6630 ti = "14/7736/6630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7736/6630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7736 ÷ 214
    7736 ÷ 16384     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6630 ÷ 214
    6630 ÷ 16384     		y = 0.4046630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4046630859375 × 2 - 1) × π
    0.190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.599019497652222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599019497652222))-π/2
    2×atan(1.82033308422131)-π/2
    2×1.06845228462577-π/2
    2.13690456925155-1.57079632675     		φ = 0.56610824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56610824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.435613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7736 KachelY 6630 -0.17487381 0.56610824 -10.019531 32.435613
    Oben rechts KachelX + 1 7737 KachelY 6630 -0.17449031 0.56610824 -9.997558 32.435613
    Unten links KachelX 7736 KachelY + 1 6631 -0.17487381 0.56578454 -10.019531 32.417066
    Unten rechts KachelX + 1 7737 KachelY + 1 6631 -0.17449031 0.56578454 -9.997558 32.417066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56610824-0.56578454) × R
    0.000323700000000038 × 6371000     		dl = 2062.29270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56610824-0.56578454) × R
    0.000323700000000038 × 6371000     		dr = 2062.29270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(0.56610824) × R
    0.000383499999999981 × 0.843994712660805 × 6371000     		do = 2062.11413555772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17449031) × cos(0.56578454) × R
    0.000383499999999981 × 0.84416828541875 × 6371000     		du = 2062.53822214539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56610824)-sin(0.56578454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843994712660805-0.84416828541875)×R²
    abs(-0.17449031--0.17487381)×0.000173572757945162×R²
    0.000383499999999981×0.000173572757945162×6371000²
    0.000383499999999981×0.000173572757945162×40589641000000     		ar = 4253120.26080148m²