Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7706 / 6651
↖ ↑ ↗
← N 32.045333°
W 10.678711°		 ← 2 070.99 m → N 32.045333°
W 10.656738°		 →
↑
2 071.21 m
↓
↑
2 071.21 m
↓
N 32.026706°
W 10.678711°		 ← 2 071.41 m →
4 289 901 m²		 N 32.026706°
W 10.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470367431640625 y=0.405975341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470367431640625 × 214)
    floor (0.470367431640625 × 16384)
    floor (7706.5)     		tx = 7706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405975341796875 × 214)
    floor (0.405975341796875 × 16384)
    floor (6651.5)     		ty = 6651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7706 / 6651 ti = "14/7706/6651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7706/6651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7706 ÷ 214
    7706 ÷ 16384     		x = 0.4703369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6651 ÷ 214
    6651 ÷ 16384     		y = 0.40594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4703369140625 × 2 - 1) × π
    -0.059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18637867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40594482421875 × 2 - 1) × π
    0.1881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.590966098516052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18637867} λ = -0.18637867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590966098516052))-π/2
    2×atan(1.80573208807312)-π/2
    2×1.06504644735806-π/2
    2.13009289471612-1.57079632675     		φ = 0.55929657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18637867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55929657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.045333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7706 KachelY 6651 -0.18637867 0.55929657 -10.678711 32.045333
    Oben rechts KachelX + 1 7707 KachelY 6651 -0.18599517 0.55929657 -10.656738 32.045333
    Unten links KachelX 7706 KachelY + 1 6652 -0.18637867 0.55897147 -10.678711 32.026706
    Unten rechts KachelX + 1 7707 KachelY + 1 6652 -0.18599517 0.55897147 -10.656738 32.026706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55929657-0.55897147) × R
    0.000325099999999967 × 6371000     		dl = 2071.21209999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55929657-0.55897147) × R
    0.000325099999999967 × 6371000     		dr = 2071.21209999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18637867--0.18599517) × cos(0.55929657) × R
    0.000383500000000009 × 0.847628553673068 × 6371000     		do = 2070.99262117555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18637867--0.18599517) × cos(0.55897147) × R
    0.000383500000000009 × 0.847801003712716 × 6371000     		du = 2071.41396464975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55929657)-sin(0.55897147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847628553673068-0.847801003712716)×R²
    abs(-0.18599517--0.18637867)×0.000172450039648608×R²
    0.000383500000000009×0.000172450039648608×6371000²
    0.000383500000000009×0.000172450039648608×40589641000000     		ar = 4289901.35962416m²