Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7702 / 6646
↖ ↑ ↗
← N 32.138409°
W 10.766602°		 ← 2 068.88 m → N 32.138409°
W 10.744629°		 →
↑
2 069.11 m
↓
↑
2 069.11 m
↓
N 32.119801°
W 10.766602°		 ← 2 069.31 m →
4 281 184 m²		 N 32.119801°
W 10.744629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470123291015625 y=0.405670166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470123291015625 × 214)
    floor (0.470123291015625 × 16384)
    floor (7702.5)     		tx = 7702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405670166015625 × 214)
    floor (0.405670166015625 × 16384)
    floor (6646.5)     		ty = 6646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7702 / 6646 ti = "14/7702/6646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7702/6646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7702 ÷ 214
    7702 ÷ 16384     		x = 0.4700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6646 ÷ 214
    6646 ÷ 16384     		y = 0.4056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18791265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    0.188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.592883574500854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18791265} λ = -0.18791265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592883574500854))-π/2
    2×atan(1.8091978576901)-π/2
    2×1.0658586874454-π/2
    2.13171737489081-1.57079632675     		φ = 0.56092105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18791265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56092105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.138409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7702 KachelY 6646 -0.18791265 0.56092105 -10.766602 32.138409
    Oben rechts KachelX + 1 7703 KachelY 6646 -0.18752915 0.56092105 -10.744629 32.138409
    Unten links KachelX 7702 KachelY + 1 6647 -0.18791265 0.56059628 -10.766602 32.119801
    Unten rechts KachelX + 1 7703 KachelY + 1 6647 -0.18752915 0.56059628 -10.744629 32.119801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56092105-0.56059628) × R
    0.000324770000000085 × 6371000     		dl = 2069.10967000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56092105-0.56059628) × R
    0.000324770000000085 × 6371000     		dr = 2069.10967000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18791265--0.18752915) × cos(0.56092105) × R
    0.000383499999999981 × 0.846765502657742 × 6371000     		do = 2068.88394718525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18791265--0.18752915) × cos(0.56059628) × R
    0.000383499999999981 × 0.846938224705385 × 6371000     		du = 2069.30595525073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56092105)-sin(0.56059628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846765502657742-0.846938224705385)×R²
    abs(-0.18752915--0.18791265)×0.000172722047642293×R²
    0.000383499999999981×0.000172722047642293×6371000²
    0.000383499999999981×0.000172722047642293×40589641000000     		ar = 4281184.4093447m²