Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7686 / 6662
↖ ↑ ↗
← N 31.840232°
W 11.118164°		 ← 2 075.62 m → N 31.840232°
W 11.096191°		 →
↑
2 075.80 m
↓
↑
2 075.80 m
↓
N 31.821564°
W 11.118164°		 ← 2 076.04 m →
4 309 006 m²		 N 31.821564°
W 11.096191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469146728515625 y=0.406646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469146728515625 × 214)
    floor (0.469146728515625 × 16384)
    floor (7686.5)     		tx = 7686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406646728515625 × 214)
    floor (0.406646728515625 × 16384)
    floor (6662.5)     		ty = 6662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7686 / 6662 ti = "14/7686/6662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7686/6662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7686 ÷ 214
    7686 ÷ 16384     		x = 0.4691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6662 ÷ 214
    6662 ÷ 16384     		y = 0.4066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19404857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4066162109375 × 2 - 1) × π
    0.186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586747651349487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19404857} λ = -0.19404857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586747651349487))-π/2
    2×atan(1.7981307468631)-π/2
    2×1.06325661071836-π/2
    2.12651322143673-1.57079632675     		φ = 0.55571689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19404857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55571689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.840232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7686 KachelY 6662 -0.19404857 0.55571689 -11.118164 31.840232
    Oben rechts KachelX + 1 7687 KachelY 6662 -0.19366507 0.55571689 -11.096191 31.840232
    Unten links KachelX 7686 KachelY + 1 6663 -0.19404857 0.55539107 -11.118164 31.821564
    Unten rechts KachelX + 1 7687 KachelY + 1 6663 -0.19366507 0.55539107 -11.096191 31.821564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55571689-0.55539107) × R
    0.000325820000000032 × 6371000     		dl = 2075.7992200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55571689-0.55539107) × R
    0.000325820000000032 × 6371000     		dr = 2075.7992200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19404857--0.19366507) × cos(0.55571689) × R
    0.000383500000000009 × 0.849522461524508 × 6371000     		do = 2075.61996550996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19404857--0.19366507) × cos(0.55539107) × R
    0.000383500000000009 × 0.849694303568596 × 6371000     		du = 2076.03982348167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55571689)-sin(0.55539107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849522461524508-0.849694303568596)×R²
    abs(-0.19366507--0.19404857)×0.000171842044087933×R²
    0.000383500000000009×0.000171842044087933×6371000²
    0.000383500000000009×0.000171842044087933×40589641000000     		ar = 4309006.11396787m²