Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7680 / 6663
↖ ↑ ↗
← N 31.821564°
W 11.250000°		 ← 2 075.99 m → N 31.821564°
W 11.228028°		 →
↑
2 076.18 m
↓
↑
2 076.18 m
↓
N 31.802893°
W 11.250000°		 ← 2 076.41 m →
4 310 559 m²		 N 31.802893°
W 11.228028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468780517578125 y=0.406707763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468780517578125 × 214)
    floor (0.468780517578125 × 16384)
    floor (7680.5)     		tx = 7680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406707763671875 × 214)
    floor (0.406707763671875 × 16384)
    floor (6663.5)     		ty = 6663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7680 / 6663 ti = "14/7680/6663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7680/6663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7680 ÷ 214
    7680 ÷ 16384     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6663 ÷ 214
    6663 ÷ 16384     		y = 0.40667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40667724609375 × 2 - 1) × π
    0.1866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586364156152527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586364156152527))-π/2
    2×atan(1.79744130456552)-π/2
    2×1.06309370035091-π/2
    2.12618740070182-1.57079632675     		φ = 0.55539107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55539107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.821564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7680 KachelY 6663 -0.19634954 0.55539107 -11.250000 31.821564
    Oben rechts KachelX + 1 7681 KachelY 6663 -0.19596605 0.55539107 -11.228028 31.821564
    Unten links KachelX 7680 KachelY + 1 6664 -0.19634954 0.55506519 -11.250000 31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 7681 KachelY + 1 6664 -0.19596605 0.55506519 -11.228028 31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55539107-0.55506519) × R
    0.000325880000000001 × 6371000     		dl = 2076.18148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55539107-0.55506519) × R
    0.000325880000000001 × 6371000     		dr = 2076.18148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19596605) × cos(0.55539107) × R
    0.000383489999999986 × 0.849694303568596 × 6371000     		do = 2075.98568945747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19596605) × cos(0.55506519) × R
    0.000383489999999986 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 2076.40539335151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55539107)-sin(0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849694303568596-0.849866087030189)×R²
    abs(-0.19596605--0.19634954)×0.0001717834615933×R²
    0.000383489999999986×0.0001717834615933×6371000²
    0.000383489999999986×0.0001717834615933×40589641000000     		ar = 4310558.77006969m²