Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7678 / 6650
↖ ↑ ↗
← N 32.063956°
W 11.293945°		 ← 2 070.52 m → N 32.063956°
W 11.271973°		 →
↑
2 070.77 m
↓
↑
2 070.77 m
↓
N 32.045333°
W 11.293945°		 ← 2 070.94 m →
4 287 993 m²		 N 32.045333°
W 11.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468658447265625 y=0.405914306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468658447265625 × 214)
    floor (0.468658447265625 × 16384)
    floor (7678.5)     		tx = 7678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405914306640625 × 214)
    floor (0.405914306640625 × 16384)
    floor (6650.5)     		ty = 6650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7678 / 6650 ti = "14/7678/6650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7678/6650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7678 ÷ 214
    7678 ÷ 16384     		x = 0.4686279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6650 ÷ 214
    6650 ÷ 16384     		y = 0.4058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    0.188232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.591349593713013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19711653} λ = -0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591349593713013))-π/2
    2×atan(1.80642471045608)-π/2
    2×1.06520896156033-π/2
    2.13041792312065-1.57079632675     		φ = 0.55962160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55962160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.063956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7678 KachelY 6650 -0.19711653 0.55962160 -11.293945 32.063956
    Oben rechts KachelX + 1 7679 KachelY 6650 -0.19673304 0.55962160 -11.271973 32.063956
    Unten links KachelX 7678 KachelY + 1 6651 -0.19711653 0.55929657 -11.293945 32.045333
    Unten rechts KachelX + 1 7679 KachelY + 1 6651 -0.19673304 0.55929657 -11.271973 32.045333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55962160-0.55929657) × R
    0.000325030000000059 × 6371000     		dl = 2070.76613000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55962160-0.55929657) × R
    0.000325030000000059 × 6371000     		dr = 2070.76613000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19711653--0.19673304) × cos(0.55962160) × R
    0.000383490000000014 × 0.847456051208141 × 6371000     		do = 2070.5171581868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19711653--0.19673304) × cos(0.55929657) × R
    0.000383490000000014 × 0.847628553673068 × 6371000     		du = 2070.93861876042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55962160)-sin(0.55929657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847456051208141-0.847628553673068)×R²
    abs(-0.19673304--0.19711653)×0.000172502464926949×R²
    0.000383490000000014×0.000172502464926949×6371000²
    0.000383490000000014×0.000172502464926949×40589641000000     		ar = 4287993.21364746m²