Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7677 / 6665
↖ ↑ ↗
← N 31.784217°
W 11.315918°		 ← 2 076.88 m → N 31.784217°
W 11.293945°		 →
↑
2 077.01 m
↓
↑
2 077.01 m
↓
N 31.765538°
W 11.315918°		 ← 2 077.30 m →
4 314 134 m²		 N 31.765538°
W 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468597412109375 y=0.406829833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468597412109375 × 214)
    floor (0.468597412109375 × 16384)
    floor (7677.5)     		tx = 7677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406829833984375 × 214)
    floor (0.406829833984375 × 16384)
    floor (6665.5)     		ty = 6665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7677 / 6665 ti = "14/7677/6665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7677/6665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7677 ÷ 214
    7677 ÷ 16384     		x = 0.46856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6665 ÷ 214
    6665 ÷ 16384     		y = 0.40679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.0628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19750003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40679931640625 × 2 - 1) × π
    0.1864013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.585597165758606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19750003} λ = -0.19750003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585597165758606))-π/2
    2×atan(1.79606321291037)-π/2
    2×1.06276778079147-π/2
    2.12553556158295-1.57079632675     		φ = 0.55473923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19750003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55473923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.784217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7677 KachelY 6665 -0.19750003 0.55473923 -11.315918 31.784217
    Oben rechts KachelX + 1 7678 KachelY 6665 -0.19711653 0.55473923 -11.293945 31.784217
    Unten links KachelX 7677 KachelY + 1 6666 -0.19750003 0.55441322 -11.315918 31.765538
    Unten rechts KachelX + 1 7678 KachelY + 1 6666 -0.19711653 0.55441322 -11.293945 31.765538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55473923-0.55441322) × R
    0.000326009999999988 × 6371000     		dl = 2077.00970999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55473923-0.55441322) × R
    0.000326009999999988 × 6371000     		dr = 2077.00970999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19750003--0.19711653) × cos(0.55473923) × R
    0.000383499999999981 × 0.850037822375631 × 6371000     		do = 2076.8791355971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19750003--0.19711653) × cos(0.55441322) × R
    0.000383499999999981 × 0.850209493726849 × 6371000     		du = 2077.29857651859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55473923)-sin(0.55441322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850037822375631-0.850209493726849)×R²
    abs(-0.19711653--0.19750003)×0.000171671351217317×R²
    0.000383499999999981×0.000171671351217317×6371000²
    0.000383499999999981×0.000171671351217317×40589641000000     		ar = 4314133.76077517m²