Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7670 / 6642
↖ ↑ ↗
← N 32.212801°
W 11.469726°		 ← 2 067.14 m → N 32.212801°
W 11.447754°		 →
↑
2 067.39 m
↓
↑
2 067.39 m
↓
N 32.194209°
W 11.469726°		 ← 2 067.56 m →
4 274 022 m²		 N 32.194209°
W 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468170166015625 y=0.405426025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468170166015625 × 214)
    floor (0.468170166015625 × 16384)
    floor (7670.5)     		tx = 7670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405426025390625 × 214)
    floor (0.405426025390625 × 16384)
    floor (6642.5)     		ty = 6642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7670 / 6642 ti = "14/7670/6642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7670/6642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7670 ÷ 214
    7670 ÷ 16384     		x = 0.4681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6642 ÷ 214
    6642 ÷ 16384     		y = 0.4053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20018449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4053955078125 × 2 - 1) × π
    0.189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.594417555288696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20018449} λ = -0.20018449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594417555288696))-π/2
    2×atan(1.81197526214312)-π/2
    2×1.06650788335367-π/2
    2.13301576670733-1.57079632675     		φ = 0.56221944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20018449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56221944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.212801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7670 KachelY 6642 -0.20018449 0.56221944 -11.469726 32.212801
    Oben rechts KachelX + 1 7671 KachelY 6642 -0.19980100 0.56221944 -11.447754 32.212801
    Unten links KachelX 7670 KachelY + 1 6643 -0.20018449 0.56189494 -11.469726 32.194209
    Unten rechts KachelX + 1 7671 KachelY + 1 6643 -0.19980100 0.56189494 -11.447754 32.194209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56221944-0.56189494) × R
    0.000324500000000061 × 6371000     		dl = 2067.38950000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56221944-0.56189494) × R
    0.000324500000000061 × 6371000     		dr = 2067.38950000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20018449--0.19980100) × cos(0.56221944) × R
    0.000383489999999986 × 0.846074089334179 × 6371000     		do = 2067.14072849697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20018449--0.19980100) × cos(0.56189494) × R
    0.000383489999999986 × 0.846247024481568 × 6371000     		du = 2067.56324620678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56221944)-sin(0.56189494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846074089334179-0.846247024481568)×R²
    abs(-0.19980100--0.20018449)×0.000172935147389031×R²
    0.000383489999999986×0.000172935147389031×6371000²
    0.000383489999999986×0.000172935147389031×40589641000000     		ar = 4274021.82896118m²