Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7646 / 6682
↖ ↑ ↗
← N 31.466154°
W 11.997070°		 ← 2 083.99 m → N 31.466154°
W 11.975098°		 →
↑
2 084.21 m
↓
↑
2 084.21 m
↓
N 31.447410°
W 11.997070°		 ← 2 084.41 m →
4 343 908 m²		 N 31.447410°
W 11.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466705322265625 y=0.407867431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466705322265625 × 214)
    floor (0.466705322265625 × 16384)
    floor (7646.5)     		tx = 7646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407867431640625 × 214)
    floor (0.407867431640625 × 16384)
    floor (6682.5)     		ty = 6682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7646 / 6682 ti = "14/7646/6682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7646/6682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7646 ÷ 214
    7646 ÷ 16384     		x = 0.4666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6682 ÷ 214
    6682 ÷ 16384     		y = 0.4078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4078369140625 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.579077747410278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20938838} λ = -0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579077747410278))-π/2
    2×atan(1.78439201150587)-π/2
    2×1.0599921560233-π/2
    2.1199843120466-1.57079632675     		φ = 0.54918799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54918799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.466154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7646 KachelY 6682 -0.20938838 0.54918799 -11.997070 31.466154
    Oben rechts KachelX + 1 7647 KachelY 6682 -0.20900488 0.54918799 -11.975098 31.466154
    Unten links KachelX 7646 KachelY + 1 6683 -0.20938838 0.54886085 -11.997070 31.447410
    Unten rechts KachelX + 1 7647 KachelY + 1 6683 -0.20900488 0.54886085 -11.975098 31.447410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54918799-0.54886085) × R
    0.000327140000000004 × 6371000     		dl = 2084.20894000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54918799-0.54886085) × R
    0.000327140000000004 × 6371000     		dr = 2084.20894000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20938838--0.20900488) × cos(0.54918799) × R
    0.000383500000000009 × 0.852948668209257 × 6371000     		do = 2083.99114263936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20938838--0.20900488) × cos(0.54886085) × R
    0.000383500000000009 × 0.85311938794298 × 6371000     		du = 2084.40825849429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54918799)-sin(0.54886085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852948668209257-0.85311938794298)×R²
    abs(-0.20900488--0.20938838)×0.000170719733723623×R²
    0.000383500000000009×0.000170719733723623×6371000²
    0.000383500000000009×0.000170719733723623×40589641000000     		ar = 4343907.68740702m²