Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7644 / 6685
↖ ↑ ↗
← N 31.409912°
W 12.041016°		 ← 2 085.24 m → N 31.409912°
W 12.019043°		 →
↑
2 085.48 m
↓
↑
2 085.48 m
↓
N 31.391157°
W 12.041016°		 ← 2 085.66 m →
4 349 172 m²		 N 31.391157°
W 12.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466583251953125 y=0.408050537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466583251953125 × 214)
    floor (0.466583251953125 × 16384)
    floor (7644.5)     		tx = 7644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408050537109375 × 214)
    floor (0.408050537109375 × 16384)
    floor (6685.5)     		ty = 6685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7644 / 6685 ti = "14/7644/6685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7644/6685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7644 ÷ 214
    7644 ÷ 16384     		x = 0.466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6685 ÷ 214
    6685 ÷ 16384     		y = 0.40802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40802001953125 × 2 - 1) × π
    0.1839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.577927261819397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21015537} λ = -0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577927261819397))-π/2
    2×atan(1.78234027468129)-π/2
    2×1.05950135616483-π/2
    2.11900271232965-1.57079632675     		φ = 0.54820639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54820639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.409912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7644 KachelY 6685 -0.21015537 0.54820639 -12.041016 31.409912
    Oben rechts KachelX + 1 7645 KachelY 6685 -0.20977187 0.54820639 -12.019043 31.409912
    Unten links KachelX 7644 KachelY + 1 6686 -0.21015537 0.54787905 -12.041016 31.391157
    Unten rechts KachelX + 1 7645 KachelY + 1 6686 -0.20977187 0.54787905 -12.019043 31.391157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54820639-0.54787905) × R
    0.000327340000000009 × 6371000     		dl = 2085.48314000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54820639-0.54787905) × R
    0.000327340000000009 × 6371000     		dr = 2085.48314000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21015537--0.20977187) × cos(0.54820639) × R
    0.000383500000000009 × 0.853460647296502 × 6371000     		do = 2085.24205013567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21015537--0.20977187) × cos(0.54787905) × R
    0.000383500000000009 × 0.853631197196795 × 6371000     		du = 2085.65875104024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54820639)-sin(0.54787905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853460647296502-0.853631197196795)×R²
    abs(-0.20977187--0.21015537)×0.000170549900293859×R²
    0.000383500000000009×0.000170549900293859×6371000²
    0.000383500000000009×0.000170549900293859×40589641000000     		ar = 4349171.68856902m²