Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76390 / 73217
↖ ↑ ↗
← S 20.635355°
E 29.811401°		 ← 285.83 m → S 20.635355°
E 29.814148°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.637925°
E 29.811401°		 ← 285.83 m →
81 690 m²		 S 20.637925°
E 29.814148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582813262939453 y=0.558605194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582813262939453 × 217)
    floor (0.582813262939453 × 131072)
    floor (76390.5)     		tx = 76390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558605194091797 × 217)
    floor (0.558605194091797 × 131072)
    floor (73217.5)     		ty = 73217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76390 / 73217 ti = "17/76390/73217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76390/73217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76390 ÷ 217
    76390 ÷ 131072     		x = 0.582809448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73217 ÷ 217
    73217 ÷ 131072     		y = 0.558601379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582809448242188 × 2 - 1) × π
    0.165618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52030711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558601379394531 × 2 - 1) × π
    -0.117202758789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.368203325981651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52030711} λ = 0.52030711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368203325981651))-π/2
    2×atan(0.691976470588942)-π/2
    2×0.605320723013411-π/2
    1.21064144602682-1.57079632675     		φ = -0.36015488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52030711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.811401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36015488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.635355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76390 KachelY 73217 0.52030711 -0.36015488 29.811401 -20.635355
    Oben rechts KachelX + 1 76391 KachelY 73217 0.52035505 -0.36015488 29.814148 -20.635355
    Unten links KachelX 76390 KachelY + 1 73218 0.52030711 -0.36019974 29.811401 -20.637925
    Unten rechts KachelX + 1 76391 KachelY + 1 73218 0.52035505 -0.36019974 29.814148 -20.637925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36015488--0.36019974) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36015488--0.36019974) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52030711-0.52035505) × cos(-0.36015488) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935842252219844 × 6371000     		do = 285.830312407987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52030711-0.52035505) × cos(-0.36019974) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935826441753747 × 6371000     		du = 285.82548348468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36015488)-sin(-0.36019974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935842252219844-0.935826441753747)×R²
    abs(0.52035505-0.52030711)×1.58104660967773e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58104660967773e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58104660967773e-05×40589641000000     		ar = 81690.4878800965m²