Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76384 / 74080
↖ ↑ ↗
← S 22.836946°
E 29.794922°		 ← 281.43 m → S 22.836946°
E 29.797668°		 →
↑
281.47 m
↓
↑
281.47 m
↓
S 22.839477°
E 29.794922°		 ← 281.42 m →
79 212 m²		 S 22.839477°
E 29.797668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582767486572266 y=0.565189361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582767486572266 × 217)
    floor (0.582767486572266 × 131072)
    floor (76384.5)     		tx = 76384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565189361572266 × 217)
    floor (0.565189361572266 × 131072)
    floor (74080.5)     		ty = 74080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76384 / 74080 ti = "17/76384/74080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76384/74080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76384 ÷ 217
    76384 ÷ 131072     		x = 0.582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74080 ÷ 217
    74080 ÷ 131072     		y = 0.565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.565185546875 × 2 - 1) × π
    -0.13037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.40957287035376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52001949} λ = 0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.40957287035376))-π/2
    2×atan(0.663933775379595)-π/2
    2×0.586108214692663-π/2
    1.17221642938533-1.57079632675     		φ = -0.39857990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39857990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.836946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76384 KachelY 74080 0.52001949 -0.39857990 29.794922 -22.836946
    Oben rechts KachelX + 1 76385 KachelY 74080 0.52006742 -0.39857990 29.797668 -22.836946
    Unten links KachelX 76384 KachelY + 1 74081 0.52001949 -0.39862408 29.794922 -22.839477
    Unten rechts KachelX + 1 76385 KachelY + 1 74081 0.52006742 -0.39862408 29.797668 -22.839477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39857990--0.39862408) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dl = 281.47078000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39857990--0.39862408) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dr = 281.47078000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52001949-0.52006742) × cos(-0.39857990) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.921613078060589 × 6371000     		do = 281.42564039065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52001949-0.52006742) × cos(-0.39862408) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.921595930463508 × 6371000     		du = 281.420404165596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39857990)-sin(-0.39862408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921613078060589-0.921595930463508)×R²
    abs(0.52006742-0.52001949)×1.71475970812685e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.71475970812685e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.71475970812685e-05×40589641000000     		ar = 79212.3576034894m²