Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76366 / 73230
↖ ↑ ↗
← S 20.668765°
E 29.745483°		 ← 285.77 m → S 20.668765°
E 29.748230°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.671336°
E 29.745483°		 ← 285.76 m →
81 673 m²		 S 20.671336°
E 29.748230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582630157470703 y=0.558704376220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582630157470703 × 217)
    floor (0.582630157470703 × 131072)
    floor (76366.5)     		tx = 76366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558704376220703 × 217)
    floor (0.558704376220703 × 131072)
    floor (73230.5)     		ty = 73230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76366 / 73230 ti = "17/76366/73230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76366/73230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76366 ÷ 217
    76366 ÷ 131072     		x = 0.582626342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73230 ÷ 217
    73230 ÷ 131072     		y = 0.558700561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582626342773438 × 2 - 1) × π
    0.165252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51915662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558700561523438 × 2 - 1) × π
    -0.117401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368826505676712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51915662} λ = 0.51915662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368826505676712))-π/2
    2×atan(0.69154537924065)-π/2
    2×0.605029156103545-π/2
    1.21005831220709-1.57079632675     		φ = -0.36073801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51915662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.745483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36073801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.668765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76366 KachelY 73230 0.51915662 -0.36073801 29.745483 -20.668765
    Oben rechts KachelX + 1 76367 KachelY 73230 0.51920456 -0.36073801 29.748230 -20.668765
    Unten links KachelX 76366 KachelY + 1 73231 0.51915662 -0.36078287 29.745483 -20.671336
    Unten rechts KachelX + 1 76367 KachelY + 1 73231 0.51920456 -0.36078287 29.748230 -20.671336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36073801--0.36078287) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36073801--0.36078287) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51915662-0.51920456) × cos(-0.36073801) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935636586922446 × 6371000     		do = 285.767496932337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51915662-0.51920456) × cos(-0.36078287) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935620751978349 × 6371000     		du = 285.762660532818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36073801)-sin(-0.36078287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935636586922446-0.935620751978349)×R²
    abs(0.51920456-0.51915662)×1.58349440961825e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58349440961825e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58349440961825e-05×40589641000000     		ar = 81672.5339566578m²