Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76364 / 73249
↖ ↑ ↗
← S 20.717584°
E 29.739990°		 ← 285.68 m → S 20.717584°
E 29.742737°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
S 20.720153°
E 29.739990°		 ← 285.67 m →
81 592 m²		 S 20.720153°
E 29.742737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582614898681641 y=0.558849334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582614898681641 × 217)
    floor (0.582614898681641 × 131072)
    floor (76364.5)     		tx = 76364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558849334716797 × 217)
    floor (0.558849334716797 × 131072)
    floor (73249.5)     		ty = 73249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76364 / 73249 ti = "17/76364/73249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76364/73249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76364 ÷ 217
    76364 ÷ 131072     		x = 0.582611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73249 ÷ 217
    73249 ÷ 131072     		y = 0.558845520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582611083984375 × 2 - 1) × π
    0.16522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51906075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558845520019531 × 2 - 1) × π
    -0.117691040039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.369737306769493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51906075} λ = 0.51906075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369737306769493))-π/2
    2×atan(0.690915805705184)-π/2
    2×0.604603135225362-π/2
    1.20920627045072-1.57079632675     		φ = -0.36159006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51906075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.739990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36159006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.717584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76364 KachelY 73249 0.51906075 -0.36159006 29.739990 -20.717584
    Oben rechts KachelX + 1 76365 KachelY 73249 0.51910869 -0.36159006 29.742737 -20.717584
    Unten links KachelX 76364 KachelY + 1 73250 0.51906075 -0.36163489 29.739990 -20.720153
    Unten rechts KachelX + 1 76365 KachelY + 1 73250 0.51910869 -0.36163489 29.742737 -20.720153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36159006--0.36163489) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36159006--0.36163489) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51906075-0.51910869) × cos(-0.36159006) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935335503637188 × 6371000     		do = 285.675538347135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51906075-0.51910869) × cos(-0.36163489) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93531964355046 × 6371000     		du = 285.67069426841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36159006)-sin(-0.36163489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935335503637188-0.93531964355046)×R²
    abs(0.51910869-0.51906075)×1.58600867279368e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58600867279368e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58600867279368e-05×40589641000000     		ar = 81591.6501113797m²