Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76364 / 73236
↖ ↑ ↗
← S 20.684184°
E 29.739990°		 ← 285.74 m → S 20.684184°
E 29.742737°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.686753°
E 29.739990°		 ← 285.73 m →
81 646 m²		 S 20.686753°
E 29.742737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582614898681641 y=0.558750152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582614898681641 × 217)
    floor (0.582614898681641 × 131072)
    floor (76364.5)     		tx = 76364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558750152587891 × 217)
    floor (0.558750152587891 × 131072)
    floor (73236.5)     		ty = 73236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76364 / 73236 ti = "17/76364/73236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76364/73236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76364 ÷ 217
    76364 ÷ 131072     		x = 0.582611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73236 ÷ 217
    73236 ÷ 131072     		y = 0.558746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582611083984375 × 2 - 1) × π
    0.16522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51906075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.11749267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.369114127074432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51906075} λ = 0.51906075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369114127074432))-π/2
    2×atan(0.691346504593759)-π/2
    2×0.604894608383732-π/2
    1.20978921676746-1.57079632675     		φ = -0.36100711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51906075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.739990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36100711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.684184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76364 KachelY 73236 0.51906075 -0.36100711 29.739990 -20.684184
    Oben rechts KachelX + 1 76365 KachelY 73236 0.51910869 -0.36100711 29.742737 -20.684184
    Unten links KachelX 76364 KachelY + 1 73237 0.51906075 -0.36105196 29.739990 -20.686753
    Unten rechts KachelX + 1 76365 KachelY + 1 73237 0.51910869 -0.36105196 29.742737 -20.686753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36100711--0.36105196) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36100711--0.36105196) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51906075-0.51910869) × cos(-0.36100711) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935541570208581 × 6371000     		do = 285.738476382192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51906075-0.51910869) × cos(-0.36105196) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935525727502897 × 6371000     		du = 285.733637612085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36100711)-sin(-0.36105196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935541570208581-0.935525727502897)×R²
    abs(0.51910869-0.51906075)×1.58427056834443e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58427056834443e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58427056834443e-05×40589641000000     		ar = 81646.0352116608m²